Polynome: Definitionen & Auswertung

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• Gib den Grad des Polynoms an, und gib die Werte des führenden Koeffizienten und des konstanten Terms, falls vorhanden, des folgenden Polynoms an: 2×5 – 5×3 – 10x + 9
• Bestimmen Sie den Grad des Polynoms und geben Sie die Werte des führenden Koeffizienten und des konstanten Terms, falls vorhanden, des folgenden Polynoms an: 6×2 + 7×4 + x
• Polynomnamen
• Auswertung
• Bewerte 2×3 – x2 – 4x + 2 bei x = -3
• Bewerte x5 + 4×4 – 9x + 7 bei x = -2

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Du solltest inzwischen mit Variablen und Exponenten vertraut sein und hast dich vielleicht schon mit Ausdrücken wie 3×4 oder 6x beschäftigt. Polynome sind Summen dieser Ausdrücke mit „Variablen und Exponenten“. Jeder Teil des Polynoms (d.h. jeder Teil, der addiert wird) wird als „Term“ bezeichnet.

Was ist ein Polynom?

Polynome sind Summen (und Differenzen) von Polynom-„Termen“.

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Damit ein Ausdruck ein Polynomterm ist, müssen alle Variablen im Ausdruck ganzzahlige Potenzen haben (oder die „verstandene“ Potenz von 1, wie in x1, das normalerweise als x geschrieben wird). Auch eine einfache Zahl kann ein Polynomausdruck sein. Damit ein Ausdruck ein Polynomterm ist, darf er keine Quadratwurzeln der Variablen, keine gebrochenen oder negativen Potenzen der Variablen und keine Variablen in den Nennern von Brüchen enthalten. Hier sind einige Beispiele:

Terminologie

Um ein Polynom zu bilden, nimmt man einige Terme und addiert (und subtrahiert) sie zusammen. Hier ist ein typisches Polynom:

Beachte die Exponenten (d.h. die Potenzen) jedes der drei Terme. Der erste Term hat einen Exponenten von 2; der zweite Term hat einen „verstandenen“ Exponenten von 1 (der üblicherweise nicht einbezogen wird); und der letzte Term hat überhaupt keine Variable, so dass Exponenten kein Thema sind. Da dieser letzte Term keine Variable enthält, ändert sich sein Wert nie, weshalb er als „konstanter“ Term bezeichnet wird.

(Anmerkung: Wenn man es ganz genau nimmt, könnte man sagen, dass der konstante Term die Variable enthält, aber dass die Variable die Form „x0“ hat. Da die Variable eine Potenz von Null hat, wird sie immer zu 1 ausgewertet, also wird sie ignoriert, weil sie nichts ändert: 7×0 = 7(1) = 7.)

Beachte auch, dass die Potenzen der Terme mit der größten, nämlich der 2, auf dem ersten Term beginnen und von dort aus abwärts gezählt werden. Ein anderes Wort für „Potenz“ oder „Exponent“ ist „Ordnung“. Wenn die Terme so geschrieben werden, dass die Potenzen der Variablen vom höchsten zum niedrigsten Wert gehen, nennt man das „in absteigender Reihenfolge“. Polynome werden normalerweise in absteigender Reihenfolge geschrieben, wobei der konstante Term am Ende steht. (Hinweis: Manche Lehrkräfte zählen eine Antwort als falsch, wenn die Terme des Polynoms zwar vollständig korrekt sind, aber nicht in absteigender Reihenfolge geschrieben werden.)

Der erste Term des Polynoms, wenn dieses Polynom in absteigender Reihenfolge geschrieben wird, ist auch der Term mit dem größten Exponenten und wird als „führender“ Term bezeichnet.

Wenn die Variable in einem Term mit einer Zahl multipliziert wird, nennt man diese Zahl den „Koeffizienten“ (koh-ee-FISH-int) oder „numerischen Koeffizienten“ des Terms. Der Koeffizient des führenden Terms (die „4“ im obigen Beispiel) ist der „führende Koeffizient“. Wird mit dem variablen Teil eines Terms keine Zahl multipliziert, dann ist (im technischen Sinne) der Koeffizient dieses Terms 1.

Der Exponent im variablen Teil eines Terms gibt den „Grad“ dieses Terms an. Zum Beispiel ist die Potenz der Variablen x im führenden Term des obigen Polynoms 2; das bedeutet, dass der führende Term ein Term „zweiten Grades“ ist, oder „ein Term zweiten Grades“. Der zweite Term ist ein Term „ersten Grades“ oder „ein Term ersten Grades“.

In jedem Polynom sagt der Grad des führenden Terms etwas über den Grad des gesamten Polynoms aus, also ist das obige Polynom ein „Polynom zweiten Grades“ oder ein „Polynom zweiten Grades“.

• Gib den Grad des Polynoms an, und gib die Werte des führenden Koeffizienten und des konstanten Terms, falls vorhanden, des folgenden Polynoms an: 2×5 – 5×3 – 10x + 9

• Bestimmen Sie den Grad des Polynoms und geben Sie die Werte des führenden Koeffizienten und des konstanten Terms, falls vorhanden, des folgenden Polynoms an: 6×2 + 7×4 + x

Polynomnamen

Die kürzeren Polynome haben jedoch eigene Namen, die sich nach der Anzahl der Terme richten:

Ich weiß nicht, ob es Namen für Polynome mit einer größeren Anzahl von Termen gibt; ich habe noch nie von anderen Namen gehört als den drei, die ich aufgelistet habe.

Polynome werden manchmal auch nach ihrem Grad benannt:

Es gibt Namen für einige Polynome höheren Grades, aber ich habe noch nie davon gehört, dass andere Namen als die oben genannten verwendet werden.

Übrigens, ja, die Vorsilbe „Quad“ bezieht sich normalerweise auf „vier“, so wie ein Geländewagen als „Quadbike“ bezeichnet wird oder eine Drohne mit vier Propellern als „Quad-Copter“. Bei Polynomen leitet sich das „quad“ in „quadratisch“ jedoch vom lateinischen Wort für „quadratisch machen“ ab. Wenn Sie also eine Länge mit einer Breite (z. B. eines Raums) multiplizieren, um die Fläche zu ermitteln, werden die Einheiten der Fläche mit der zweiten Potenz erhöht. Die Fläche eines 6 mal 8 Meter großen Raums beträgt zum Beispiel 48 m2. Das „Quad“ für Polynome zweiten Grades bezieht sich also auf die vier Ecken eines Quadrats, was auf die geometrischen Ursprünge der Parabeln und frühen Polynome zurückgeht.

Auswertung

„Auswerten“ eines Polynoms ist dasselbe wie das Auswerten von irgendetwas anderem; das heißt, man nimmt den/die Wert(e), den/die man erhalten hat, setzt ihn/sie für die entsprechende(n) Variable(n) ein und vereinfacht, um den resultierenden Wert zu finden.

• Bewerte 2×3 – x2 – 4x + 2 bei x = -3

• Bewerte x5 + 4×4 – 9x + 7 bei x = -2

Beim Auswerten immer auf die Minuszeichen achten!