Olen aina hyväksynyt, että vakiofunktion $f(t) = c$ kahdenvälistä Laplace-muunnosta ei ole olemassa. Miten seuraava integraali voisi mahdollisesti konvergoitua,
$$\\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}ce^{-st}\,\mathrm{d}t\;?$$
Silloin opin jakaumista ja siitä, miten ne ovat täydellisiä ehdokkaita löytämään Fourier-muunnos ”ongelmallisille” funktioille, joille tavallisen Fourier-integraalin arvioiminen on hankalaa tai jopa mahdotonta. Tässä vakiofunktio voidaan muuntaa ja saadaan Dirac-impulssi $\delta(f)$ ja dualiteetin kautta tämä pätee myös toiseen suuntaan.
Siten Dirac-impulssin Laplace-muunnos löytyy helposti käyttämällä siivilöintiominaisuutta ja Dirac-impulssin määritelmää:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Nyt mietin, miksi seuraava ei päde,
$$$\mathcal{L}=\delta(s).$$
Katsoin muutamia papereita ja luentoja jakaumien Laplace-muunnoksesta, mutta mistään en löytänyt perustelua sille, miksi tämä ei pidä paikkaansa (olen tosin saattanut unohtaa sen).Yritin sitten selvittää, onko $\delta(s)$ määritelty, mutta kaikki löytämäni lähteet määrittelivät sekä jakaumien että testifunktioiden (tarkastellaan Schwartzin funktioita) toimialueeksi reaaliviivan tai sen osajoukkoja.
Epäilen, että on olemassa jokin syy, joka estää jakaumien määrittelyn kompleksitasolla. Ehkä se liittyy kompleksi-integraatioon, mutta en ole varma.
Toinen syy, jota ajattelin, on konvergenssialue. Kun tarkastellaan $f(t)$:n Laplace-muunnosta $f(t)$:n Fourier-muunnoksena $f(t)e^{-\alpha t}$, jossa $\alpha=\mathrm{Re}(s)$, luulen, että tätä voidaan käsitellä vain jakaumien yhteydessä, kun $\alpha=0$. Muuten voisimme löytää testifunktion $\phi(t)$, joka pienenee eksponentiaalisesti, ja siten pariliitos $\langle 1\cdot e^{-\alpha t}, \phi(t)\rangle \; \forall \alpha \neq 0$ antaa integraalin vakiofunktion yli, joka ei konvergoi. Mutta jos konvergenssialue on vain imaginaariakseli, emme voi arvioida integraalia käänteisessä Laplace-muunnoksessa (mutta en oikein osaa sanoa, miksi. Se on pikemminkin vaisto).
Odotan mielenkiinnolla valaisevia vastauksia siihen, miksi emme voi löytää vakiofunktion kahdenkeskistä Laplace-muunnosta.
Editointi: Signaalit & systeemit -kurssini muistiinpanoissa väitettiin, että se olisi sama kuin tavallisen ja heijastetun askelmuotoisen funktiomuunnoksen muunnosten summa. Tuloksena oleva konvergenssialue on molempien alueiden unioni, mutta ne eivät ole päällekkäisiä, koska ne ovat vastaavasti vasen puolitaso ja oikea puolitaso. Näin ollen vakiofunktion kahdenvälistä muunnosta ei voi olla olemassa. Mutta miksi tämä sulkee pois jakaumien käytön?