Polynomials: Definitions & Evaluation

• Purplemath
• Mikä on polynomi?
• MathHelp.com
• Terminologia
• Anna polynomin aste ja anna seuraavan polynomin johtavan kertoimen ja mahdollisen vakiotermin arvot:
• Määritä polynomin aste ja luettele seuraavan polynomin johtavan kertoimen ja mahdollisen vakiotermin arvot: 6×2 + 7×4 + x
• Polynomien nimet
• Arviointi
• Arvioi 2×3 – x2 – 4x + 2 luvulla x = -3
• Arvioi x5 + 4×4 – 9x + 7 luvulla x = -2

Purplemath

Tähän mennessä muuttujat ja eksponentit lienevät sinulle tuttuja, ja olet saattanut olla tekemisissä lausekkeiden 3×4 tai 6x kanssa. Polynomit ovat näiden ”muuttujien ja eksponenttien” lausekkeiden summia. Jokaista polynomin osaa (eli jokaista yhteenlaskettavaa osaa) kutsutaan ”termiksi”.

Mikä on polynomi?

Polynomit ovat polynomien ”termien” summia (ja differenssejä).

Sisältö jatkuu alla

MathHelp.com

Jotta lauseke olisi polynomitermi, kaikkien lausekkeessa olevien muuttujien on oltava kokonaislukupotensseja (tai muuten ”ymmärretty” potenssi 1, kuten x1:ssä, joka tavallisesti kirjoitetaan x:nä). Myös tavallinen luku voi olla polynomitermi. Jotta lauseke olisi polynomitermi, se ei saa sisältää muuttujien neliöjuuria, muuttujien murtolukuja tai negatiivisia potensseja eikä muuttujia murtolukujen nimittäjissä. Tässä muutamia esimerkkejä:

Terminologia

Polynomin muodostamiseksi otetaan joitakin termejä ja lasketaan (ja vähennetään) ne yhteen. Tässä on tyypillinen polynomi:

Huomaa jokaisen kolmen termin eksponentit (eli potenssit). Ensimmäisessä termissä on eksponentti 2; toisessa termissä on ”ymmärretty” eksponentti 1 (jota ei yleensä oteta mukaan); ja viimeisessä termissä ei ole lainkaan muuttujaa, joten eksponentit eivät ole ongelma. Koska tässä viimeisessä termissä ei ole muuttujaa, sen arvo ei koskaan muutu, joten sitä kutsutaan ”vakiotermiksi”.

(Huom. Jos haluttaisiin olla hyvin teknisiä, voitaisiin sanoa, että vakiotermiin sisältyy myös muuttuja, mutta muuttuja on muotoa ”x0”. Koska muuttujan potenssi on nolla, se arvotetaan aina 1:ksi, joten se jätetään huomiotta, koska se ei muuta mitään: 7×0 = 7(1) = 7.)

Huomaa myös, että termien potenssit aloitettiin suurimmalla, eli 2:lla, ensimmäisessä termissä, ja laskettiin siitä alaspäin. Toinen sana ”potenssille” tai ”eksponentille” on ”järjestys”. Kun termit kirjoitetaan siten, että muuttujien potenssit menevät suurimmasta pienimpään, tätä kutsutaan ”laskevassa järjestyksessä” kirjoittamiseksi. Polynomit kirjoitetaan yleensä alenevassa järjestyksessä, ja vakiotermi tulee viimeisenä. (Huomautus: Jotkut opettajat laskevat vastauksen vääräksi, jos polynomin termit ovat täysin oikein, mutta niitä ei ole kirjoitettu laskevassa järjestyksessä.)

Polynomin ensimmäinen termi, kun polynomi kirjoitetaan laskevassa järjestyksessä, on myös termi, jolla on suurin eksponentti, ja sitä kutsutaan ”johtavaksi” termiksi.

Jos termin muuttuja kerrotaan jollakin luvulla, tätä lukua kutsutaan termin ”kertoimeksi” (koh-ee-FISH-int) eli ”numeeriseksi kertoimeksi”. Johtavan termin kerroin (joka on ”4” yllä olevassa esimerkissä) on ”johtava kerroin”. Jos termin muuttuvaan osaan ei ole kerrottu mitään lukua, niin (teknisessä mielessä) kyseisen termin kerroin on 1.

Termin muuttuvassa osassa oleva eksponentti kertoo kyseisen termin ”asteen”. Esimerkiksi muuttujan x potenssi edellä olevan polynomin johtavassa termissä on 2; tämä tarkoittaa, että johtava termi on ”toisen asteen” termi eli ”toisen asteen termi”. Toinen termi on ”ensimmäisen asteen” termi eli ”ensimmäisen asteen termi”.

Missä tahansa polynomissa johtavan termin aste kertoo koko polynomin asteen, joten yllä oleva polynomi on ”toisen asteen polynomi” eli ”kahden asteen polynomi”.

• Anna polynomin aste ja anna seuraavan polynomin johtavan kertoimen ja mahdollisen vakiotermin arvot:

• Määritä polynomin aste ja luettele seuraavan polynomin johtavan kertoimen ja mahdollisen vakiotermin arvot: 6×2 + 7×4 + x

Polynomien nimet

Lyhyemmillä polynomeilla on kuitenkin omat nimensä termien lukumäärän mukaan:

En tiedä, onko suuremmilla termimäärillä varustetuille polynomeille olemassa nimiä; en ole koskaan kuullut muista nimistä kuin näistä kolmesta, jotka olen luetellut.

Polynomeja nimetään joskus myös niiden asteen mukaan:

Tietyille korkeamman asteen polynomeille on olemassa nimiä, mutta en ole koskaan kuullut, että käytettäisiin muita nimiä kuin edellä luettelemiani nimiä.

Sivumennen sanottuna, kyllä, etuliite ”quad” viittaa tavallisesti ”neljään”, kuten esimerkiksi silloin, kun mönkijään viitataan nimellä ”quad-pyörä” tai lennokkia, jossa on neljä propulssia, sanotaan nimellä ”quad-kopteri”. Polynomien osalta ”quad” sanassa ”quadratic” on kuitenkin peräisin latinankielisestä sanasta ”making square”. Jos kerrotaan pituus ja leveys (esimerkiksi huoneen) pinta-alan määrittämiseksi, pinta-alan yksiköt korotetaan toiseen potenssiin. Esimerkiksi 6 kertaa 8 metrin kokoisen huoneen pinta-ala on 48 m2. Kakkosasteen polynomien ”quad” viittaa siis neliön neljään kulmaan, mikä on peräisin paraabelien ja varhaisimpien polynomien geometrisesta alkuperästä.