J’ai toujours accepté que la transformée de Laplace bilatérale d’une fonction constante $f(t) = c$ n’existe pas. Comment l’intégrale suivante pourrait-elle éventuellement converger,
$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}ce^{-st}\,\mathrm{d}t\;?$$
J’ai alors appris l’existence des distributions et comment elles sont des candidates parfaites pour trouver la Transformée de Fourier de fonctions « problématiques » pour lesquelles il est difficile voire impossible d’évaluer l’intégrale de Fourier habituelle. Ici, une fonction constante peut être transformée et donne l’impulsion de Dirac $\delta(f)$ et par dualité, cela vaut aussi dans l’autre sens.
Donc la transformée de Laplace d’une impulsion de Dirac se trouve facilement en employant la propriété de tamisage et la définition de l’impulsion de Dirac :
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Je me demandais maintenant, pourquoi ce qui suit ne tient pas,
$\mathcal{L}=\delta(s).$$
J’ai cherché quelques articles et conférences sur la transformation de Laplace des distributions mais nulle part je n’ai trouvé une raison pour laquelle ce n’est pas vrai (j’ai peut-être négligé de le faire, cependant).J’ai ensuite essayé de trouver, si $\delta(s)$ est défini mais toutes les sources que j’ai trouvées définissent le domaine des distributions et des fonctions de test (considérons les fonctions de Schwartz) comme la ligne réelle ou des sous-ensembles de celle-ci.
Je soupçonne qu’il y a une reaon qui empêche les distributions d’être définies sur le plan complexe. Peut-être que cela a à voir avec l’intégation complexe, mais je ne suis pas sûr.
Une autre raison à laquelle je pensais est la région de convergence. En considérant la transformée de Laplace de $f(t)$ comme la transformée de Fourier de $f(t)e^{-\alpha t}$, où $\alpha=\mathrm{Re}(s)$, je pense que cela ne peut être traité que dans le contexte des distibutions lorsque $\alpha=0$. Sinon, nous pourrions trouver une fonction test $\phi(t)$ qui diminue exponentiellement et donc le couple $\langle 1\cdot e^{-\alpha t}, \phi(t)\rangle \ ; \forall \alpha \neq 0$ donne l’intégrale sur une fonction constante qui ne convergera pas. Mais si la région de convergence est juste l’axe imaginaire, on ne peut pas évaluer l’intégrale dans la transformée de Laplace inverse (mais je ne peux pas vraiment dire, pourquoi. C’est plutôt une intuition).
J’attends des réponses éclairantes pour savoir pourquoi on ne peut pas trouver la transformée de Laplace bilatérale d’une fonction constante.
Edit : Dans les notes de mon cours de Signaux &Systèmes, il a été argumenté que ce serait la même chose que la somme des transformées d’une fonction échelon habituelle et réfléchie. La région de convergence résultante est l’union des deux régions mais elles ne se chevauchent pas car ce sont respectivement le demi-plan gauche et le demi-plan droit. Par conséquent, la transformée bilatérale d’une fonction constante ne peut pas exister. Mais pourquoi cela exclut-il l’utilisation des distributions ?
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