Les applications de la théorie des groupes abondent. Presque toutes les structures de l’algèbre abstraite sont des cas particuliers de groupes. Les anneaux, par exemple, peuvent être considérés comme des groupes abéliens (correspondant à l’addition) associés à une seconde opération (correspondant à la multiplication). Par conséquent, les arguments de la théorie des groupes sous-tendent de grandes parties de la théorie de ces entités.
Théorie de GaloisEdit
La théorie de Galois utilise les groupes pour décrire les symétries des racines d’un polynôme (ou plus précisément les automorphismes des algèbres engendrées par ces racines). Le théorème fondamental de la théorie de Galois fournit un lien entre les extensions de champs algébriques et la théorie des groupes. Il donne un critère efficace pour la solvabilité des équations polynomiales en termes de solvabilité du groupe de Galois correspondant. Par exemple, S5, le groupe symétrique à 5 éléments, n’est pas solvable, ce qui implique que l’équation quintique générale ne peut pas être résolue par des radicaux comme le peuvent les équations de degré inférieur. La théorie, étant l’une des racines historiques de la théorie des groupes, est encore appliquée de manière fructueuse pour donner de nouveaux résultats dans des domaines tels que la théorie des champs de classes.
Topologie algébriqueModifier
La topologie algébrique est un autre domaine qui associe de manière proéminente des groupes aux objets auxquels la théorie s’intéresse. Là, les groupes sont utilisés pour décrire certains invariants des espaces topologiques. Ils sont appelés « invariants » car ils sont définis de telle sorte qu’ils ne changent pas si l’espace est soumis à une certaine déformation. Par exemple, le groupe fondamental « compte » combien de chemins dans l’espace sont essentiellement différents. La conjecture de Poincaré, prouvée en 2002/2003 par Grigori Perelman, est une application éminente de cette idée. L’influence n’est cependant pas unidirectionnelle. Par exemple, la topologie algébrique utilise les espaces d’Eilenberg-MacLane qui sont des espaces avec des groupes d’homotopie prescrits. De même la K-théorie algébrique s’appuie d’une certaine manière sur les espaces de classification de groupes. Enfin, le nom du sous-groupe de torsion d’un groupe infini montre l’héritage de la topologie dans la théorie des groupes.
Géométrie algébriqueModifier
La géométrie algébrique utilise de même la théorie des groupes de nombreuses manières. Les variétés abéliennes ont été introduites ci-dessus. La présence de l’opération de groupe donne des informations supplémentaires qui rendent ces variétés particulièrement accessibles. Elles servent aussi souvent de test pour de nouvelles conjectures. Le cas unidimensionnel, à savoir les courbes elliptiques, est étudié de manière particulièrement détaillée. Elles sont à la fois théoriquement et pratiquement intrigantes. Dans une autre direction, les variétés toriques sont des variétés algébriques sur lesquelles agit un tore. Les encastrements toriques ont récemment conduit à des avancées en géométrie algébrique, en particulier la résolution de singularités.
Théorie algébrique des nombresEdit
La théorie algébrique des nombres fait appel aux groupes pour certaines applications importantes. Par exemple, la formule du produit d’Euler,
∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p premier 1 1 – p – s , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}&=\prod _{p{\text{ prime}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\end{aligned}}\!}.
capture le fait que tout entier se décompose de manière unique en nombres premiers. L’échec de cet énoncé pour des anneaux plus généraux donne lieu aux groupes de classes et aux nombres premiers réguliers, qui figurent dans le traitement par Kummer du dernier théorème de Fermat.
Analyse harmoniqueModifier
L’analyse sur les groupes de Lie et certains autres groupes est appelée analyse harmonique. Les mesures de Haar, c’est-à-dire les intégrales invariantes sous la translation dans un groupe de Lie, sont utilisées pour la reconnaissance des formes et d’autres techniques de traitement des images.
CombinatoireEdit
En combinatoire, la notion de groupe de permutation et le concept d’action de groupe sont souvent utilisés pour simplifier le dénombrement d’un ensemble d’objets ; voir notamment le lemme de Burnside.
MusicEdit
La présence de la 12-périodicité dans le cercle des quintes donne lieu à des applications de la théorie élémentaire des groupes dans la théorie des ensembles musicaux. La théorie transformationnelle modélise les transformations musicales comme éléments d’un groupe mathématique.
PhysiqueEdit
En physique, les groupes sont importants car ils décrivent les symétries auxquelles les lois de la physique semblent obéir. Selon le théorème de Noether, chaque symétrie continue d’un système physique correspond à une loi de conservation du système. Les physiciens sont très intéressés par les représentations des groupes, en particulier des groupes de Lie, car ces représentations ouvrent souvent la voie aux théories physiques « possibles ». Des exemples de l’utilisation des groupes en physique incluent le modèle standard, la théorie de jauge, le groupe de Lorentz et le groupe de Poincaré.
Chimie et science des matériauxEdit
En chimie et en science des matériaux, les groupes ponctuels sont utilisés pour classer les polyèdres réguliers, et les symétries des molécules, et les groupes spatiaux pour classer les structures cristallines. Les groupes attribués peuvent ensuite être utilisés pour déterminer les propriétés physiques (telles que la polarité chimique et la chiralité), les propriétés spectroscopiques (particulièrement utiles pour la spectroscopie Raman, la spectroscopie infrarouge, la spectroscopie par dichroïsme circulaire, la spectroscopie par dichroïsme circulaire magnétique, la spectroscopie UV/Vis et la spectroscopie de fluorescence) et pour construire les orbitales moléculaires.
La symétrie moléculaire est responsable de nombreuses propriétés physiques et spectroscopiques des composés et fournit des informations pertinentes sur la façon dont les réactions chimiques se produisent. Afin d’attribuer un groupe ponctuel pour une molécule donnée, il est nécessaire de trouver l’ensemble des opérations de symétrie présentes sur celle-ci. L’opération de symétrie est une action, telle qu’une rotation autour d’un axe ou une réflexion dans un plan miroir. En d’autres termes, il s’agit d’une opération qui déplace la molécule de telle sorte qu’il est impossible de la distinguer de la configuration originale. Dans la théorie des groupes, les axes de rotation et les plans miroirs sont appelés « éléments de symétrie ». Ces éléments peuvent être un point, une ligne ou un plan par rapport auquel l’opération de symétrie est effectuée. Les opérations de symétrie d’une molécule déterminent le groupe ponctuel spécifique de cette molécule.
En chimie, il existe cinq opérations de symétrie importantes. Ce sont l’opération d’identité (E), l’opération de rotation ou rotation propre (Cn), l’opération de réflexion (σ), l’inversion (i) et l’opération de réflexion de rotation ou rotation impropre (Sn). L’opération d’identité (E) consiste à laisser la molécule telle qu’elle est. Ceci est équivalent à un nombre quelconque de rotations complètes autour d’un axe quelconque. Il s’agit d’une symétrie de toutes les molécules, alors que le groupe de symétrie d’une molécule chirale ne comprend que l’opération d’identité. Une opération d’identité est une caractéristique de chaque molécule, même si elle n’a pas de symétrie. La rotation autour d’un axe (Cn) consiste à faire tourner la molécule autour d’un axe spécifique selon un angle spécifique. Il s’agit d’une rotation de l’angle 360°/n, où n est un nombre entier, autour d’un axe de rotation. Par exemple, si une molécule d’eau tourne de 180° autour de l’axe qui passe par l’atome d’oxygène et entre les atomes d’hydrogène, elle se retrouve dans la même configuration qu’au départ. Dans ce cas, n = 2, puisque l’appliquer deux fois produit l’opération d’identité. Dans les molécules ayant plus d’un axe de rotation, l’axe Cn ayant la plus grande valeur de n est l’axe de rotation d’ordre supérieur ou axe principal. Par exemple le Borane (BH3), l’ordre le plus élevé de l’axe de rotation est C3, donc l’axe principal de rotation de l’axe est C3.
Dans l’opération de réflexion (σ), de nombreuses molécules ont des plans miroirs, même s’ils ne sont pas évidents. L’opération de réflexion échange à gauche et à droite, comme si chaque point s’était déplacé perpendiculairement à travers le plan jusqu’à une position exactement aussi éloignée du plan que lorsqu’il a commencé. Lorsque le plan est perpendiculaire à l’axe principal de rotation, il est appelé σh (horizontal). Les autres plans, qui contiennent l’axe principal de rotation, sont étiquetés verticaux (σv) ou dièdres (σd).
L’inversion (i ) est une opération plus complexe. Chaque point se déplace à travers le centre de la molécule jusqu’à une position opposée à la position initiale et aussi loin du point central que là où il a commencé. De nombreuses molécules qui semblent à première vue avoir un centre d’inversion n’en ont pas ; par exemple, le méthane et d’autres molécules tétraédriques n’ont pas de symétrie d’inversion. Pour s’en convaincre, tenez un modèle de méthane avec deux atomes d’hydrogène dans le plan vertical à droite et deux atomes d’hydrogène dans le plan horizontal à gauche. L’inversion se traduit par deux atomes d’hydrogène dans le plan horizontal à droite et deux atomes d’hydrogène dans le plan vertical à gauche. L’inversion n’est donc pas une opération de symétrie du méthane, car l’orientation de la molécule après l’opération d’inversion diffère de l’orientation initiale. Et la dernière opération est la rotation impropre ou opération de réflexion par rotation (Sn) nécessite une rotation de 360°/n, suivie d’une réflexion par un plan perpendiculaire à l’axe de rotation.
Mécanique statistiqueEdit
La théorie des groupes peut être utilisée pour résoudre l’incomplétude des interprétations statistiques de la mécanique développées par Willard Gibbs, relatives à la sommation d’un nombre infini de probabilités pour donner une solution significative.
CryptographieEdit
De très grands groupes d’ordre premier construits dans la cryptographie à courbe elliptique servent à la cryptographie à clé publique. Les méthodes cryptographiques de ce type bénéficient de la flexibilité des objets géométriques, donc de leurs structures de groupe, ainsi que de la structure compliquée de ces groupes, qui rendent le logarithme discret très difficile à calculer. L’un des premiers protocoles de cryptage, le chiffrement de César, peut également être interprété comme une opération de groupe (très facile). La plupart des schémas cryptographiques utilisent les groupes d’une manière ou d’une autre. En particulier, l’échange de clés Diffie-Hellman utilise des groupes cycliques finis. Ainsi, le terme cryptographie basée sur les groupes se réfère surtout aux protocoles cryptographiques qui utilisent des groupes non abéliens infinis tels qu’un groupe tressé.
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