I have always accepted that the bilateral Laplace Transform of a constant function $f(t) = c$ is not exist.なぜ定数関数の両側ラプラス変換は存在しないのでしょうか？
$$mathcal{L}=int}imits_ce^{-st}, \mathrm{d}t;?$$
その後、分布について学び、通常のフーリエ積分の評価が困難、あるいは不可能な「問題」関数に対してフーリエ変換を求めるのに最適なことを知ったのです。 ここでは、定数関数が変換され、ディラックインパルス$delta(f)$が得られ、双対性により、これは反対方向にも成り立ちます。
つまり、Diracインパルスのラプラス変換は、篩の性質とDiracインパルスの定義を利用することで簡単に求められます。
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.
ここで気になったのは、なぜ以下が成立しないのかです。
$$mathcal{L}=delta(s).$$
分布のラプラス変換に関する論文や講義をいくつか調べてみましたが、なぜそうならないかの理由はどこにも書いてありませんでした（見落としていたかもしれませんが）。また、$delta(s)$が定義されているかどうか調べてみましたが、私が見つけたすべての資料では、分布とテスト関数（シュワルツ関数とします）のドメインは、実線またはその部分集合と定義されていました。
もう一つの理由は、収束領域です。 f(t)$のラプラス変換を$f(t)e^{-alpha t}$のフーリエ変換として見たとき、$alpha=alphamathrm{Re}(s)$とすると、$alpha=0$時の分散という文脈でしか扱えないのではないかと思っています。 そうでなければ、指数関数的に減少するテスト関数$phi(t)$が見つかるので、ペアリング$langle 1\cdot e^{-alpha t}, \phi(t)\rangle; \forall \neq 0$で、収束しない定数関数上の積分を与えてしまうことになります。
Edit: Signals & Systems の授業のノートには、通常のステップ関数と反射ステップ関数の変換の和と同じになると書かれていました。 結果として収束する領域は両領域の和となるが、これらはそれぞれ左半面、右半面であるため重なり合うことはない。 従って、定数関数の両側変換は存在し得ない。 しかし、なぜこれで分布の利用ができなくなるのでしょうか
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