Polinomios: Definiciones y Evaluación

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• Terminología
• Da el grado del polinomio, y da los valores del coeficiente principal y del término constante, si lo hay, del siguiente polinomio: 2×5 – 5×3 – 10x + 9
• Determina el grado del polinomio, y enumera los valores del coeficiente principal y del término constante, si lo hay, del siguiente polinomio: 6×2 + 7×4 + x
• Evaluación
• Evaluar 2×3 – x2 – 4x + 2 en x = -3
• Evaluar x5 + 4×4 – 9x + 7 en x = -2

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A estas alturas, deberías estar familiarizado con las variables y los exponentes, y puede que hayas tratado con expresiones como 3×4 o 6x. Los polinomios son sumas de estas expresiones de «variables y exponentes». Cada pieza del polinomio (es decir, cada parte que se suma) se llama «término».

¿Qué es un polinomio?

Los polinomios son sumas (y diferencias) de «términos» de polinomios.

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Para que una expresión sea un término polinómico, cualquier variable en la expresión debe tener potencias de números enteros (o bien la potencia «entendida» de 1, como en x1, que normalmente se escribe como x). Un número plano también puede ser un término polinómico. En particular, para que una expresión sea un término polinómico, no debe contener raíces cuadradas de las variables, ni potencias fraccionarias o negativas en las variables, ni variables en los denominadores de las fracciones. Aquí hay algunos ejemplos:

Terminología

Para crear un polinomio, se toman algunos términos y se suman (y restan). Este es un polinomio típico:

Nota los exponentes (es decir, las potencias) de cada uno de los tres términos. El primer término tiene un exponente de 2; el segundo tiene un exponente «entendido» de 1 (que habitualmente no se incluye); y el último término no tiene ninguna variable, por lo que los exponentes no son un problema. Debido a que no hay ninguna variable en este último término, su valor nunca cambia, por lo que se llama el término «constante».

(Nota: Si uno fuera a ser muy técnico, se podría decir que el término constante incluye la variable, pero que la variable está en la forma «x0». La variable al tener una potencia de cero, siempre se evaluará a 1, así que se ignora porque no cambia nada: 7×0 = 7(1) = 7.)

Nótese también que las potencias de los términos empezaron con la mayor, que es el 2, en el primer término, y contaron hacia abajo desde ahí. Otra palabra para «potencia» o «exponente» es «orden». Cuando los términos se escriben de forma que las potencias de las variables van de mayor a menor, se dice que se escriben «en orden descendente». Los polinomios suelen escribirse en orden descendente, con el término constante al final. (Nota: Algunos instructores contarán una respuesta incorrecta si los términos del polinomio son completamente correctos pero no están escritos en orden descendente.)

El primer término del polinomio, cuando ese polinomio está escrito en orden descendente, es también el término con el mayor exponente, y se llama el término «líder».

Si la variable de un término se multiplica por un número, este número se llama «coeficiente» o «coeficiente numérico» del término. El coeficiente del término principal (que es el «4» en el ejemplo anterior) es el «coeficiente principal». Si no hay ningún número multiplicado en la parte variable de un término, entonces (en un sentido técnico) el coeficiente de ese término es 1.

El exponente en la parte variable de un término te dice el «grado» de ese término. Por ejemplo, la potencia de la variable x en el primer término del polinomio anterior es 2; esto significa que el primer término es un término de «segundo grado», o «un término de grado dos». El segundo término es un término de «primer grado», o «un término de grado uno».

En cualquier polinomio, el grado del término principal indica el grado de todo el polinomio, por lo que el polinomio anterior es un «polinomio de segundo grado», o un «polinomio de grado dos».

• Da el grado del polinomio, y da los valores del coeficiente principal y del término constante, si lo hay, del siguiente polinomio: 2×5 – 5×3 – 10x + 9

• Determina el grado del polinomio, y enumera los valores del coeficiente principal y del término constante, si lo hay, del siguiente polinomio: 6×2 + 7×4 + x

Nombres de polinomios

Sin embargo, los polinomios más cortos sí tienen sus propios nombres, según su número de términos:

No sé si hay nombres para polinomios con un número mayor de términos; nunca he oído hablar de otros nombres que no sean los tres que he enumerado.

Los polinomios también se nombran a veces por su grado:

Hay nombres para algunos de los polinomios de mayor grado, pero nunca he oído que se usen otros nombres que los que he enumerado arriba.

Por cierto, sí, el prefijo «quad» suele referirse a «cuatro», como cuando a un atv se le llama «quad bike», o a un dron con cuatro hélices se le llama «quad-copter». Sin embargo, en el caso de los polinomios, el «quad» de «quadratic» deriva del latín que significa «hacer cuadrado». Es decir, si se multiplica una longitud por una anchura (de, por ejemplo, una habitación) para hallar el área, las unidades del área se elevarán a la segunda potencia. Por ejemplo, el área de una habitación de 6 metros por 8 metros es de 48 m2. Así que el «quad» de los polinomios de grado dos se refiere a las cuatro esquinas de un cuadrado, desde los orígenes geométricos de las parábolas y los primeros polinomios.

Evaluación

«Evaluar» un polinomio es lo mismo que evaluar cualquier otra cosa; es decir, tomas el valor o valores que te han dado, los introduces para la(s) variable(s) apropiada(s), y simplificas para encontrar el valor resultante.

• Evaluar 2×3 – x2 – 4x + 2 en x = -3

• Evaluar x5 + 4×4 – 9x + 7 en x = -2

¡Cuando evalúes, recuerda siempre tener cuidado con los signos «menos»!