Siempre he aceptado que la Transformada Bilateral de Laplace de una función constante $f(t) = c$ no existe. ¿Cómo es posible que la siguiente integral converja,
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}ce^{-st},\mathrm{d}t;?$$
Entonces aprendí sobre las distribuciones y cómo son candidatas perfectas para encontrar la Transformada de Fourier de funciones «problemáticas» para las que es difícil o incluso imposible evaluar la integral de Fourier habitual. En este caso, una función constante puede transformarse y da el impulso de Dirac $\delta(f)$ y por dualidad, esto vale también en la otra dirección.
Así que la transformada de Laplace de un impulso de Dirac se encuentra fácilmente empleando la propiedad de cribado y la definición del impulso de Dirac:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Ahora me preguntaba, por qué no se cumple lo siguiente,
$$\mathcal{L}=\delta(s).$$
He buscado unos cuantos artículos y conferencias sobre la Transformada de Laplace de las distribuciones pero en ningún sitio he encontrado una razón de por qué esto no es cierto (aunque puede que lo haya pasado por alto).Luego intenté averiguar si $\delta(s)$ está definida, pero todas las fuentes que encontré definían el dominio tanto de las distribuciones como de las funciones de prueba (consideremos las funciones de Schwartz) como la línea real o subconjuntos de la misma.
Sospecho que hay una razón que impide que las distribuciones se definan en el plano complejo. Quizá tenga que ver con la integración compleja, pero no estoy seguro.
Otra razón en la que estaba pensando es la región de convergencia. Al ver la Transformada de Laplace de $f(t)$ como la Transformada de Fourier de $f(t)e^{-\alpha t}$, donde $\alpha=\mathrm{Re}(s)$, creo que esto sólo puede tratarse en el contexto de las distibuciones cuando $\alpha=0$. De lo contrario, podríamos encontrar una función de prueba $\phi(t)$ que disminuye exponencialmente y, por tanto, el emparejamiento $\langle 1\cdot e^{-\alpha t}, \phi(t)\rangle \; \forall \alpha \neq 0$ da la integral sobre una función constante que no convergerá. Pero si la región de convergencia es sólo el eje imaginario, no podemos evaluar la integral en la Transformada de Laplace inversa (pero no puedo decir realmente, por qué. Es más bien una sensación visceral).
Estoy a la espera de respuestas esclarecedoras de por qué no podemos encontrar la Transformada de Laplace bilateral de una función constante.
Edición: En los apuntes de mi clase de Sistemas de Señales & se argumentó que sería lo mismo que la suma de las transformadas de una función escalonada habitual y una reflejada. La región de convergencia resultante es la unión de ambas regiones pero no se solapan ya que son el semiplano izquierdo y el semiplano derecho, respectivamente. Por tanto, no puede existir la transformada bilateral de una función constante. Pero, ¿por qué esto descarta el uso de distribuciones?