Aplicațiile teoriei grupurilor abundă. Aproape toate structurile din algebra abstractă sunt cazuri speciale de grupuri. Inelele, de exemplu, pot fi privite ca grupuri abeliene (care corespund adunării) împreună cu o a doua operație (care corespunde înmulțirii). Prin urmare, argumentele teoretice de grup stau la baza unor mari părți din teoria acestor entități.
Teoria lui GaloisEdit
Teoria lui Galois folosește grupurile pentru a descrie simetriile rădăcinilor unui polinom (sau mai precis automorfismele algebrelor generate de aceste rădăcini). Teorema fundamentală a teoriei lui Galois oferă o legătură între extensiile câmpurilor algebrice și teoria grupurilor. Ea oferă un criteriu eficient pentru rezolvabilitatea ecuațiilor polinomiale în termeni de rezolvabilitate a grupului Galois corespunzător. De exemplu, S5, grupul simetric în 5 elemente, nu este rezolvabil, ceea ce implică faptul că ecuația cintică generală nu poate fi rezolvată prin radicali în modul în care pot fi rezolvate ecuațiile de grad inferior. Teoria, fiind una dintre rădăcinile istorice ale teoriei grupurilor, este încă aplicată fructuos pentru a produce noi rezultate în domenii precum teoria câmpurilor de clasă.
Topologie algebricăEdit
Topologia algebrică este un alt domeniu care asociază în mod proeminent grupurile cu obiectele de care teoria este interesată. Acolo, grupurile sunt folosite pentru a descrie anumiți invarianți ai spațiilor topologice. Ele se numesc „invarianți” deoarece sunt definite în așa fel încât să nu se schimbe dacă spațiul este supus unei anumite deformări. De exemplu, grupul fundamental „numără” câte căi din spațiu sunt esențial diferite. Conjectura lui Poincaré, demonstrată în 2002/2003 de Grigori Perelman, este o aplicație proeminentă a acestei idei. Influența nu este însă unidirecțională. De exemplu, topologia algebrică utilizează spațiile Eilenberg-MacLane, care sunt spații cu grupuri de homotopie prescrise. În mod similar, K-teoria algebrică se bazează într-un fel pe spațiile de clasificare a grupurilor. În cele din urmă, numele subgrupului de torsiune al unui grup infinit arată moștenirea topologiei în teoria grupurilor.
Geometrie algebricăEdit
Geometria algebrică folosește, de asemenea, teoria grupurilor în multe moduri. Varietățile abeliene au fost introduse mai sus. Prezența operației de grup aduce informații suplimentare care fac aceste varietăți deosebit de accesibile. De asemenea, ele servesc adesea drept test pentru noi conjecturi. Cazul unidimensional, și anume curbele eliptice, este studiat în mod special în detaliu. Acestea sunt interesante atât din punct de vedere teoretic, cât și practic. Într-o altă direcție, varietățile torice sunt varietăți algebrice asupra cărora acționează un tor. Încorporările toroidale au condus recent la progrese în geometria algebrică, în special la rezolvarea singularităților.
Teoria algebrică a numerelorEdit
Teoria algebrică a numerelor se folosește de grupuri pentru unele aplicații importante. De exemplu, formula produsului lui Euler,
∑ n ≥ 1 1 1 n s = ∏ p prime 1 1 1 – p – s , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1{1-p^{-s}}},\\\\\end{aligned}}}\!}
captează faptul că orice număr întreg se descompune într-un mod unic în numere prime. Eșecul acestei afirmații pentru inele mai generale dă naștere grupurilor de clase și primelor regulate, care apar în tratarea de către Kummer a ultimei teoreme a lui Fermat.
Analiză armonicăEdit
Analiza asupra grupurilor Lie și a anumitor alte grupuri se numește analiză armonică. Măsurile Haar, adică integralele invariante sub translația într-un grup Lie, sunt folosite pentru recunoașterea modelelor și alte tehnici de prelucrare a imaginilor.
CombinatoricăEdit
În combinatorică, noțiunea de grup de permutare și conceptul de acțiune de grup sunt adesea folosite pentru a simplifica numărarea unui set de obiecte; vezi în special lema lui Burnside.
MusicEdit
Prezența periodicității 12 în cercul de cvinte dă naștere la aplicații ale teoriei grupurilor elementare în teoria seturilor muzicale. Teoria transformării modelează transformările muzicale ca elemente ale unui grup matematic.
PhysicsEdit
În fizică, grupurile sunt importante pentru că descriu simetriile la care par să se supună legile fizicii. Conform teoremei lui Noether, fiecărei simetrii continue a unui sistem fizic îi corespunde o lege de conservare a sistemului. Fizicienii sunt foarte interesați de reprezentările grupurilor, în special de grupurile Lie, deoarece aceste reprezentări indică adesea calea către teoriile fizice „posibile”. Exemple de utilizare a grupurilor în fizică includ Modelul Standard, teoria gauge, grupul Lorentz și grupul Poincaré.
Chimie și știința materialelorEdit
În chimia și știința materialelor, grupurile punctiforme sunt utilizate pentru a clasifica poliedrele regulate și simetriile moleculelor, iar grupurile spațiale pentru a clasifica structurile cristaline. Grupurile atribuite pot fi apoi folosite pentru a determina proprietățile fizice (cum ar fi polaritatea chimică și chiralitatea), proprietățile spectroscopice (deosebit de utile pentru spectroscopia Raman, spectroscopia în infraroșu, spectroscopia cu dicroism circular, spectroscopia cu dicroism circular magnetic, spectroscopia UV/Vis și spectroscopia de fluorescență) și pentru a construi orbitali moleculari.
Simetria moleculară este responsabilă pentru multe proprietăți fizice și spectroscopice ale compușilor și oferă informații relevante despre modul în care au loc reacțiile chimice. Pentru a atribui o grupă de puncte pentru orice moleculă dată, este necesar să se găsească setul de operații de simetrie prezente pe aceasta. Operația de simetrie este o acțiune, cum ar fi o rotație în jurul unei axe sau o reflexie printr-un plan de oglindă. Cu alte cuvinte, este o operație care deplasează molecula astfel încât aceasta să nu se poată distinge de configurația inițială. În teoria grupurilor, axele de rotație și planurile de oglindire se numesc „elemente de simetrie”. Aceste elemente pot fi un punct, o linie sau un plan în raport cu care se efectuează operația de simetrie. Operațiile de simetrie ale unei molecule determină grupul de puncte specific pentru această moleculă.
În chimie, există cinci operații de simetrie importante. Acestea sunt operația de identitate (E), operația de rotație sau rotația proprie (Cn), operația de reflexie (σ), inversiunea (i) și operația de reflexie a rotației sau rotația improprie (Sn). Operația de identitate (E) constă în a lăsa molecula așa cum este. Aceasta este echivalentă cu un număr oarecare de rotații complete în jurul oricărei axe. Aceasta este o simetrie a tuturor moleculelor, în timp ce grupul de simetrie al unei molecule chirale constă doar în operația de identitate. O operație de identitate este o caracteristică a fiecărei molecule, chiar dacă aceasta nu are nicio simetrie. Rotația în jurul unei axe (Cn) constă în rotirea moleculei în jurul unei axe specifice cu un unghi specific. Este o rotație prin unghiul 360°/n, unde n este un număr întreg, în jurul unei axe de rotație. De exemplu, dacă o moleculă de apă se rotește cu 180° în jurul axei care trece prin atomul de oxigen și între atomii de hidrogen, ea se află în aceeași configurație de la care a pornit. În acest caz, n = 2, deoarece aplicarea lui de două ori produce operația de identitate. În cazul moleculelor cu mai multe axe de rotație, axa Cn care are cea mai mare valoare a lui n este axa de rotație de cel mai înalt ordin sau axa principală. De exemplu Boranul (BH3), axa de rotație de ordinul cel mai mare este C3, deci axa principală de rotație a axei este C3.
În operația de reflexie (σ) multe molecule au planuri în oglindă, deși acestea pot să nu fie evidente. Operația de reflexie schimbă stânga și dreapta, ca și cum fiecare punct s-ar fi deplasat perpendicular prin plan până la o poziție exact la fel de departe de plan ca atunci când a început. Atunci când planul este perpendicular pe axa principală de rotație, acesta se numește σh (orizontal). Alte planuri, care conțin axa principală de rotație, sunt denumite vertical (σv) sau diedru (σd).
Inversia (i ) este o operație mai complexă. Fiecare punct se deplasează prin centrul moleculei până la o poziție opusă celei inițiale și la fel de departe de punctul central ca cea de la care a pornit. Multe molecule care la prima vedere par să aibă un centru de inversiune nu au; de exemplu, metanul și alte molecule tetraedrice nu au simetrie de inversiune. Pentru a vedea acest lucru, țineți un model de metan cu doi atomi de hidrogen în plan vertical în dreapta și doi atomi de hidrogen în plan orizontal în stânga. Inversiunea are ca rezultat doi atomi de hidrogen în planul orizontal din dreapta și doi atomi de hidrogen în planul vertical din stânga. Prin urmare, inversarea nu este o operație de simetrie a metanului, deoarece orientarea moleculei în urma operației de inversare diferă de orientarea inițială. Iar ultima operație este operația de rotație improprie sau operația de reflecție a rotației (Sn) necesită o rotație de 360°/n, urmată de o reflecție printr-un plan perpendicular pe axa de rotație.
Mecanică statisticăEdit
Teoria grupurilor poate fi folosită pentru a rezolva caracterul incomplet al interpretărilor statistice ale mecanicii dezvoltate de Willard Gibbs, referitoare la însumarea unui număr infinit de probabilități pentru a obține o soluție semnificativă.
CriptografieEdit
Grupurile foarte mari de ordin prim construite în criptografia cu curbă eliptică servesc pentru criptografia cu cheie publică. Metodele criptografice de acest tip beneficiază de flexibilitatea obiectelor geometrice, deci de structurile de grup ale acestora, împreună cu structura complicată a acestor grupuri, care fac ca logaritmul discret să fie foarte greu de calculat. Unul dintre primele protocoale de criptare, cifrul lui Caesar, poate fi, de asemenea, interpretat ca o operație de grup (foarte ușoară). Majoritatea schemelor criptografice utilizează grupurile într-un fel sau altul. În special schimbul de chei Diffie-Hellman utilizează grupuri ciclice finite. Așadar, termenul de criptografie bazată pe grupuri se referă mai ales la protocoale criptografice care utilizează grupuri infinite neabeliene, cum ar fi un grup brăilean.
