Användningarna av gruppteori är många. Nästan alla strukturer i abstrakt algebra är specialfall av grupper. Ringar kan till exempel ses som abeliska grupper (motsvarande addition) tillsammans med en andra operation (motsvarande multiplikation). Därför ligger gruppteoretiska argument till grund för stora delar av teorin om dessa enheter.
GaloisteoriRedigera
Galoisteori använder grupper för att beskriva symmetrierna hos rötterna till ett polynom (eller mer exakt automorfismerna hos de algebraer som genereras av dessa rötter). Galoisteorins fundamentala sats utgör en länk mellan algebraiska fältförlängningar och gruppteori. Den ger ett effektivt kriterium för polynomekvationers lösbarhet i termer av lösbarheten hos motsvarande Galoisgrupp. Till exempel är S5, den symmetriska gruppen med 5 element, inte lösbar, vilket innebär att den generella kvintsekvationen inte kan lösas med radikaler på samma sätt som ekvationer av lägre grad kan lösas. Teorin, som är en av gruppteorins historiska rötter, tillämpas fortfarande på ett fruktbart sätt för att ge nya resultat inom områden som klassfältsteori.
Algebraisk topologiRedigera
Algebraisk topologi är ett annat område som på ett framträdande sätt associerar grupper till de objekt som teorin intresserar sig för. Där används grupper för att beskriva vissa invarianter av topologiska rum. De kallas ”invarianter” eftersom de är definierade på ett sådant sätt att de inte förändras om rummet utsätts för någon deformation. Den grundläggande gruppen ”räknar” till exempel hur många vägar i rummet som är väsentligen olika. Poincarékonjekturen, som Grigori Perelman bevisade 2002/2003, är en framträdande tillämpning av denna idé. Inflytandet är dock inte enkelriktat. Inom algebraisk topologi används till exempel Eilenberg-MacLane-utrymmen som är utrymmen med föreskrivna homotopigrupper. På samma sätt förlitar sig algebraisk K-teori på ett sätt på klassificering av gruppers utrymmen. Slutligen visar namnet på torsionsundergruppen till en oändlig grupp arvet från topologin i gruppteorin.
Algebraisk geometriRedigera
Algebraisk geometri använder likaså gruppteori på många sätt. Abeliska varieteter har introducerats ovan. Närvaron av gruppoperationen ger ytterligare information som gör dessa varieteter särskilt tillgängliga. De tjänar också ofta som ett test för nya gissningar. Det endimensionella fallet, nämligen elliptiska kurvor, studeras särskilt ingående. De är både teoretiskt och praktiskt intressanta. I en annan riktning är toriska sorter algebraiska sorter som påverkas av en torus. Toroidala inbäddningar har nyligen lett till framsteg inom algebraisk geometri, i synnerhet upplösning av singulariteter.
Algebraisk talteoriRedigera
Algebraisk talteori använder sig av grupper för vissa viktiga tillämpningar. Till exempel Eulers produktformel,
∑ n ≥ 1 1 1 n s = ∏ p prime 1 1 1 – p – s , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}}&=\prod _{p{{\text{ prime}}}{\frac {\frac {1}{1-p^{-s}}}},\\\end{aligned}}\!}
fångar det faktum att alla heltal sönderdelas på ett unikt sätt i primtal. Att detta påstående inte fungerar för mer allmänna ringar ger upphov till klassgrupper och regelbundna primtal, som förekommer i Kummers behandling av Fermats sista sats.
Harmonisk analysRedigera
Analys på Lie-grupper och vissa andra grupper kallas harmonisk analys. Haar-mått, det vill säga integraler som är invarianta under översättningen i en Lie-grupp, används för mönsterigenkänning och andra bildbehandlingstekniker.
KombinatorikRedigera
I kombinatoriken används ofta begreppet permutationsgrupp och begreppet gruppåtgärd för att förenkla räkningen av en uppsättning objekt; se särskilt Burnsides lemma.
MusicEdit
Närvaron av 12-periodiciteten i kvintcirkeln ger tillämpningar av elementär gruppteori i musikalisk mängdteori. Transformationsteorin modellerar musikaliska transformationer som element i en matematisk grupp.
PhysicsEdit
I fysiken är grupper viktiga eftersom de beskriver de symmetrier som fysikens lagar verkar lyda. Enligt Noethers sats motsvarar varje kontinuerlig symmetri hos ett fysiskt system en bevarandelag hos systemet. Fysiker är mycket intresserade av grupprepresentationer, särskilt av Lie-grupper, eftersom dessa representationer ofta visar vägen till ”möjliga” fysiska teorier. Exempel på användningen av grupper inom fysiken är standardmodellen, gauge-teorin, Lorentzgruppen och Poincaré-gruppen.
Kemi och materialvetenskapRedigera
I kemi och materialvetenskap används punktgrupper för att klassificera regelbundna polyeder och molekylers symmetrier, och rumsgrupper för att klassificera kristallstrukturer. De tilldelade grupperna kan sedan användas för att bestämma fysikaliska egenskaper (t.ex. kemisk polaritet och kiralitet), spektroskopiska egenskaper (särskilt användbara för Ramanspektroskopi, infraröd spektroskopi, cirkulär dikroismspektroskopi, magnetisk cirkulär dikroismspektroskopi, UV/Vis-spektroskopi och fluorescensspektroskopi) och för att konstruera molekylära orbitaler.
Molekylär symmetri är ansvarig för många fysikaliska och spektroskopiska egenskaper hos föreningar och ger relevant information om hur kemiska reaktioner sker. För att kunna tilldela en punktgrupp för en given molekyl är det nödvändigt att hitta den uppsättning symmetrioperationer som finns på den. Symmetrioperationen är en åtgärd, t.ex. en rotation runt en axel eller en reflektion genom ett spegelplan. Med andra ord är det en operation som flyttar molekylen så att den inte går att skilja från den ursprungliga konfigurationen. I gruppteori kallas rotationsaxlar och spegelplan för ”symmetrielement”. Dessa element kan vara en punkt, en linje eller ett plan i förhållande till vilket symmetrioperationen utförs. En molekyls symmetrioperationer bestämmer den specifika punktgruppen för denna molekyl.
I kemin finns det fem viktiga symmetrioperationer. De är identitetsoperation (E), rotationsoperation eller korrekt rotation (Cn), reflektionsoperation (σ), inversion (i) och rotationsreflektionsoperation eller felaktig rotation (Sn). Identitetsoperationen (E) innebär att molekylen lämnas som den är. Detta är likvärdigt med ett valfritt antal fullständiga rotationer runt vilken axel som helst. Detta är en symmetri för alla molekyler, medan symmetrigruppen för en chiral molekyl endast består av identitetsoperationen. En identitetsoperation är en egenskap hos alla molekyler även om de inte har någon symmetri. Rotation runt en axel (Cn) består av att rotera molekylen runt en specifik axel med en specifik vinkel. Det är en rotation med vinkeln 360°/n, där n är ett heltal, runt en rotationsaxel. Om en vattenmolekyl till exempel roterar 180° runt den axel som går genom syreatomen och mellan väteatomerna, befinner den sig i samma konfiguration som den började. I det här fallet är n = 2, eftersom tillämpningen två gånger ger identitetsoperationen. I molekyler med mer än en rotationsaxel är den Cn-axel som har det största värdet på n den rotationsaxel av högsta ordning eller huvudaxel. Till exempel Boran (BH3), den högsta ordningen av rotationsaxel är C3, så huvudrotationsaxeln för axeln är C3.
I reflektionsoperationen (σ) har många molekyler spegelplan, även om de kanske inte är uppenbara. Reflektionsoperationen byter ut vänster och höger, som om varje punkt hade rört sig vinkelrätt genom planet till en position exakt lika långt från planet som när den började. När planet är vinkelrätt mot huvudrotationsaxeln kallas det σh (horisontellt). Andra plan, som innehåller rotationens huvudaxel, betecknas som vertikala (σv) eller dihedrala (σd).
Inversion (i ) är en mer komplicerad operation. Varje punkt rör sig genom molekylens centrum till en position som är motsatt den ursprungliga positionen och lika långt från den centrala punkten som där den startade. Många molekyler som vid första anblicken verkar ha ett inversionscentrum har inte det; till exempel saknar metan och andra tetraedriska molekyler inversionssymmetri. För att se detta håller du en metanmodell med två väteatomer i det vertikala planet till höger och två väteatomer i det horisontella planet till vänster. Inversion resulterar i två väteatomer i det horisontella planet till höger och två väteatomer i det vertikala planet till vänster. Inversion är därför inte en symmetrioperation för metan, eftersom molekylens orientering efter inversionen skiljer sig från den ursprungliga orienteringen. Den sista operationen är olämplig rotation eller rotation-reflektion (Sn) som kräver en rotation på 360°/n, följt av en reflektion genom ett plan som är vinkelrätt mot rotationsaxeln.
Statistisk mekanikEdit
Gruppteori kan användas för att lösa ofullständigheten i de statistiska tolkningarna av mekaniken som utvecklades av Willard Gibbs och som rör summeringen av ett oändligt antal sannolikheter för att ge en meningsfull lösning.
KryptografiEdit
Mycket stora grupper av primordiell ordning som konstruerats i elliptisk-kurva-kryptografi tjänar till kryptografi med offentlig nyckel. Kryptografiska metoder av detta slag drar nytta av de geometriska objektens flexibilitet, alltså deras gruppstrukturer, tillsammans med dessa gruppers komplicerade struktur, som gör den diskreta logaritmen mycket svår att beräkna. Ett av de tidigaste krypteringsprotokollen, Caesars chiffer, kan också tolkas som en (mycket enkel) gruppoperation. De flesta kryptografiska system använder grupper på något sätt. Särskilt Diffie-Hellman-nyckelutbyte använder ändliga cykliska grupper. Termen gruppbaserad kryptografi avser alltså främst kryptografiska protokoll som använder oändliga ickeabeliska grupper, till exempel en flätgrupp.
.