Polynom: Definitioner och utvärdering

• Purplemath
• Vad är ett polynom?
• MathHelp.com
• Terminologi
• Ange graden av polynomet och ange värdena för den ledande koefficienten och den eventuella konstanta termen i följande polynom: 2×5 – 5×3 – 10x + 9
• Bestäm graden av polynomet och ange värdena för den ledande koefficienten och den eventuella konstanta termen i följande polynom: 6×2 + 7×4 + x
• Namn på polynomier
• Utvärdering
• Utvärdera 2×3 – x2 – 4x + 2 vid x = -3
• Utvärdera x5 + 4×4 – 9x + 7 vid x = -2

Purplemath

När du har bör du vara bekant med variabler och exponenter, och du kanske har haft att göra med uttryck som 3×4 eller 6x. Polynom är summor av dessa ”variabler och exponenter”-uttryck. Varje del av polynomet (det vill säga varje del som adderas) kallas en ”term”.

Vad är ett polynom?

Polynom är summor (och skillnader) av polynomiska ”termer”.

Innehållet fortsätter nedan

MathHelp.com

För att ett uttryck ska vara en polynomisk term måste alla variabler i uttrycket ha potenser av hela tal (eller annars den ”förstådda” potensen av 1, som i x1, som normalt skrivs som x). Ett vanligt tal kan också vara en polynomisk term. För att ett uttryck ska vara en polynomisk term får det inte innehålla några kvadratrötter av variabler, inga bråk- eller negativa potenser på variablerna och inga variabler i nämnarna av bråk. Här är några exempel:

Terminologi

För att skapa ett polynom tar man några termer och adderar (och subtraherar) dem tillsammans. Här är ett typiskt polynom:

Observera exponenterna (det vill säga potenserna) på var och en av de tre termerna. Den första termen har en exponent på 2, den andra termen har en ”förstådd” exponent på 1 (som vanligtvis inte tas med) och den sista termen har ingen variabel alls, så exponenter är inget problem. Eftersom det inte finns någon variabel i denna sista term ändras dess värde aldrig, så den kallas för den ”konstanta” termen.

(Anmärkning: Om man skulle vara väldigt teknisk skulle man kunna säga att den konstanta termen innefattar variabeln, men att variabeln är i formen ”x0”. Eftersom variabeln har en potens av noll kommer den alltid att utvärderas till 1, så den ignoreras eftersom den inte ändrar något: 7×0 = 7(1) = 7.)

Bemärk också att potenserna på termerna började med den största, som är 2, på den första termen, och räknade ner därifrån. Ett annat ord för ”potens” eller ”exponent” är ”ordning”. När termerna skrivs så att potenserna på variablerna går från högsta till lägsta, kallas detta att de skrivs ”i fallande ordning”. Polynomier skrivs vanligen i fallande ordning, med den konstanta termen i slutet. (Observera: Vissa lärare räknar ett svar som fel om polynomens termer är helt korrekta men inte skrivs i fallande ordning.)

Den första termen i polynomet, när detta polynom är skrivet i fallande ordning, är också den term som har den största exponenten, och kallas den ”ledande” termen.

Om variabeln i en term multipliceras med ett tal kallas detta tal för termens ”koefficient” (koh-ee-FISH-int), eller ”numerisk koefficient”. Koefficienten för den ledande termen (som är ”4” i exemplet ovan) är den ”ledande koefficienten”. Om det inte finns något tal multiplicerat på den variabla delen av en term är (i teknisk mening) koefficienten för den termen 1.

Exponenten på den variabla delen av en term talar om ”graden” av den termen. Exempelvis är potensen på variabeln x i den ledande termen i ovanstående polynom 2. Detta innebär att den ledande termen är en term av ”andra graden”, eller ”en term av grad två”. Den andra termen är en term av ”första graden”, eller ”en term av grad ett”.

I varje polynom säger graden av den ledande termen vilken grad hela polynomet har, så polynomet ovan är ett ”polynom av andra graden”, eller ett ”polynom av grad två”.

• Ange graden av polynomet och ange värdena för den ledande koefficienten och den eventuella konstanta termen i följande polynom: 2×5 – 5×3 – 10x + 9

• Bestäm graden av polynomet och ange värdena för den ledande koefficienten och den eventuella konstanta termen i följande polynom: 6×2 + 7×4 + x

Namn på polynomier

Det är dock så att de kortare polynomierna har egna namn, beroende på antalet termer:

Jag vet inte om det finns namn för polynom med fler termer; jag har aldrig hört talas om några andra namn än de tre som jag har räknat upp.

Polynomier benämns också ibland efter sin grad:

Det finns namn för vissa polynomier med högre grader, men jag har aldrig hört talas om andra namn än de som jag har listat ovan.

Förresten, ja, prefixet ”quad” hänvisar vanligen till ”fyra”, som när en atv benämns som en ”quad bike”, eller när en drönare med fyra propellrar kallas en ”quad-copter”. När det gäller polynomier kommer dock ”quad” i ”quadratisk” från latinets ord för att ”göra kvadrat”. Om man multiplicerar en längd med en bredd (t.ex. för ett rum) för att få fram arean, kommer enheterna för arean att höjas till den andra potensen. Till exempel är arean av ett rum som är 6 x 8 meter stort 48 m2. Så ”quad” för grad-två polynomier hänvisar till de fyra hörnen på en kvadrat, från det geometriska ursprunget för parabler och tidiga polynomier.

Utvärdering

”Att utvärdera” ett polynom är samma sak som att utvärdera vad som helst annat; det vill säga, du tar det eller de värden som du har fått, sätter in dem för lämplig(a) variabel(er) och förenklar för att hitta det resulterande värdet.

• Utvärdera 2×3 – x2 – 4x + 2 vid x = -3

• Utvärdera x5 + 4×4 – 9x + 7 vid x = -2

När du utvärderar ska du alltid tänka på att vara försiktig med minustecken!