Jag har alltid accepterat att den bilaterala Laplacetransformen av en konstant funktion $f(t) = c$ inte finns. Hur skulle följande integral kunna konvergera,
$$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}ce^{-st}\,\mathrm{d}t\;?$$
Då lärde jag mig om distributioner och hur de är perfekta kandidater för att hitta Fouriertransformationen av ”problematiska” funktioner för vilka det är svårt eller till och med omöjligt att utvärdera den vanliga Fourierintegralen. Här kan en konstant funktion transformeras och ger Dirac-impulsen $\delta(f)$ och genom dualitet gäller detta även i andra riktningen.
Så Laplacetransformen av en Dirac-impuls kan lätt hittas genom att använda siftningsegenskapen och definitionen av Dirac-impulsen:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Nu undrar jag varför följande inte gäller,
$$$\mathcal{L}=\delta(s).$$
Jag slog upp några papper och föreläsningar om Laplacetransformationen av fördelningar, men ingenstans hittade jag en anledning till varför detta inte stämmer (jag kan dock ha förbisett den).Jag försökte sedan ta reda på om $\delta(s)$ är definierat, men alla källor som jag hittade definierade domänen för både distributioner och testfunktioner (låt oss betrakta Schwartz-funktioner) som den reella linjen eller delmängder av den.
Jag misstänker att det finns en anledning som hindrar distributioner från att definieras på det komplexa planet. Kanske har det att göra med komplex integrering, men jag är inte säker.
En annan anledning som jag tänkte på är konvergensområdet. När man betraktar Laplacetransformen av $f(t)$ som Fouriertransformen av $f(t)e^{-\alpha t}$, där $\alpha=\mathrm{Re}(s)$, tror jag att detta endast kan hanteras i samband med fördelningar när $\alpha=0$. Annars skulle vi kunna hitta en testfunktion $\phi(t)$ som minskar exponentiellt och därmed ger paret $\langle 1\cdot e^{-\alpha t}, \phi(t)\rangle \; \forall \alpha \neq 0$ integralen över en konstant funktion som inte kommer att konvergera. Men om konvergensområdet bara är den imaginära axeln kan vi inte utvärdera integralen i den omvända Laplacetransformen (men jag kan inte riktigt säga varför. Det är snarare en magkänsla).
Jag ser fram emot upplysande svar på varför vi inte kan hitta den bilaterala Laplacetransformen av en konstant funktion.
Redigering: I anteckningarna till min kurs om signaler & system hävdades det att det skulle vara detsamma som summan av transformationerna av en vanlig och en reflekterad stegfunktion. Den resulterande konvergensregionen är föreningen av de båda regionerna, men de överlappar inte varandra eftersom dessa är det vänstra halvplanet respektive det högra halvplanet. Därför kan den bilaterala transformationen av en konstant funktion inte existera. Men varför utesluter detta användningen av fördelningar?