Mængder behandles som matematiske objekter. På samme måde som med tal kan vi udføre visse matematiske operationer på mængder. Nedenfor betragter vi de vigtigste operationer, der involverer skæringspunktet, foreningen, forskellen, den symmetriske forskel og komplementet af mængder.
For at visualisere mængdens operationer vil vi bruge Venn-diagrammer. I et Venn-diagram viser et rektangel den universelle mængde, og alle andre mængder er normalt repræsenteret ved cirkler inden for rektanglet. Det skraverede område repræsenterer resultatet af operationen.
Intersektion af mængder
To mængder kaldes disjunkter, hvis de ikke har nogen elementer til fælles.
Eksempler:
Union af mængder
Eksempler:
Princippet om inklusion-eksklusion
\
hvor \(\left| {A \cap B} \right|\) er kardinaliteten af skæringspunktet mellem \(A\) og \(B.\)
Den tilsvarende formel findes for foreningen af \(3\) endeløse mængder:
Difference af to mængder
Eksempler:
Symmetrisk differens
Med hensyn til unioner og skæringspunkter kan den symmetriske forskel mellem to mængder \(A\) og \(B\) udtrykkes som
\
Eksempler:
Komplement af en mængde
Sådan har vi pr. definition
\
Eksempler:
Løste problemer
Klik eller tryk på et problem for at se løsningen.
Løsning.
Løsning.
Løsning.
Vi kan udtrykke mængden \(A\) på følgende måde:
Beregne elementerne i mængden \(A:\)
På samme måde bestemmer vi elementerne i mængden \(B:\)
Løsning.
Vi kan finde mængden \(A\) på følgende måde:
\
Mængden \(B\) er givet ved
\
Eksempel 5.
Lad \(A, B,\) og \(C\) være mængder. Tegn Venn-diagrammet for mængdekombinationen \(A \cap \left( {B \backslash C} \right).\)
Løsning.
Regionen \(A \cap \left( {B\backslash C} \right)\) er farvet med orange.
Eksempel 6.
Lad \(A, B,\) og \(C\) være mængder. Tegn Venn-diagrammet for \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right).\)
Løsning.
Regionen \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right)\) er farvet med orange.
Løsning.
Det sidste par af fransk og kinesisk er givet ved \(10 = x + \left( {10 – x} \right).\)
Husk, at det samlede antal elever, der lærer spansk, er \(45.\) Ved hjælp af Venn-diagrammet finder vi, at den resterende del af den grønne cirkel \(S\) indeholder det antal elever, der er lig med
\ }={ 25 + x.På samme måde kan vi beregne den resterende del af den blå cirkel \(F:\)
}={ 6 + x.}]
}={ 6 + x.}]
For den lilla cirkel \(C\) har vi
}={ 4 + x.}]
Nu er alle partitioner udtrykt i udtryk for \(x,\), så vi kan skrive følgende ligning:
\
Løser vi den for \(x,\) finder vi antallet af elever, der lærer alle \(3\) sprog:
\
Løsning.
Vi betegner de delmængder af tal, der er multiple af \(2,\) \(3,\) og \(5\), med henholdsvis \(A,\) \(B,\) og \(C.\) Ved betingelse,
\
\
Sådan har vi
\
Sidst, hvis et tal er et multiplum af \(30,\), betyder det, at det er deleligt med \(2,\) \(3,\) og \(5.\) Her har vi skæringspunktet mellem tre delmængder:
\
Kardinaliteten af foreningen af tre mængder er givet ved formlen
Gennem at erstatte de kendte værdier får vi
\