Ich habe immer angenommen, dass es die bilaterale Laplace-Transformation einer konstanten Funktion $f(t) = c$ nicht gibt. Wie könnte das folgende Integral konvergieren,
$$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}ce^{-st}\,\mathrm{d}t\;?$$
Dann lernte ich über Verteilungen und wie sie perfekte Kandidaten sind, um die Fourier-Transformation „problematischer“ Funktionen zu finden, für die es schwierig oder sogar unmöglich ist, das übliche Fourier-Integral auszuwerten. Hier kann eine konstante Funktion transformiert werden und ergibt den Dirac-Impuls $\delta(f)$ und durch Dualität gilt das auch in die andere Richtung.
Die Laplace-Transformation eines Dirac-Impulses lässt sich also mit Hilfe der Siebeigenschaft und der Definition des Dirac-Impulses leicht finden:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Nun habe ich mich gefragt, warum das Folgende nicht gilt,
$$\mathcal{L}=\delta(s).$$
Ich habe ein paar Abhandlungen und Vorlesungen über die Laplace-Transformation von Verteilungen nachgeschlagen, aber nirgends habe ich einen Grund gefunden, warum das nicht stimmt (vielleicht habe ich es aber auch übersehen).Ich habe dann versucht herauszufinden, ob $\delta(s)$ definiert ist, aber alle Quellen, die ich gefunden habe, definieren den Bereich sowohl von Verteilungen als auch von Testfunktionen (betrachten wir Schwartz-Funktionen) als die reelle Linie oder Teilmengen davon.
Ich vermute, dass es einen Grund gibt, der verhindert, dass Verteilungen auf der komplexen Ebene definiert werden. Vielleicht hat es mit der komplexen Integration zu tun, aber ich bin mir nicht sicher.
Ein weiterer Grund, an den ich gedacht habe, ist der Konvergenzbereich. Wenn man die Laplace-Transformierte von $f(t)$ als Fourier-Transformierte von $f(t)e^{-\alpha t}$ betrachtet, wobei $\alpha=\mathrm{Re}(s)$ ist, kann man das meiner Meinung nach nur im Zusammenhang mit Verteilungen behandeln, wenn $\alpha=0$ ist. Andernfalls könnten wir eine Testfunktion $\phi(t)$ finden, die exponentiell abnimmt, so dass die Paarung $\langle 1\cdot e^{-\alpha t}, \phi(t)\rangle \; \forall \alpha \neq 0$ das Integral über eine konstante Funktion ergibt, die nicht konvergiert. Aber wenn der Konvergenzbereich nur die imaginäre Achse ist, können wir das Integral in der inversen Laplace-Transformation nicht auswerten (aber ich kann nicht wirklich sagen, warum. Es ist eher ein Bauchgefühl).
Ich freue mich auf erhellende Antworten, warum wir die zweiseitige Laplace-Transformation einer konstanten Funktion nicht finden können.
Edit: In den Notizen meines Signals & Systems Kurses wurde argumentiert, dass es dasselbe wäre wie die Summe der Transformationen einer gewöhnlichen und einer reflektierten Stufenfunktion. Der resultierende Konvergenzbereich ist die Vereinigung beider Bereiche, die sich jedoch nicht überschneiden, da es sich um die linke bzw. die rechte Halbebene handelt. Daher kann es die bilaterale Transformation einer konstanten Funktion nicht geben. Aber warum schließt dies die Verwendung von Verteilungen aus?