Dans la dernière section, vous avez appris les annuités. Dans une rente, vous commencez avec rien, vous mettez de l’argent dans un compte sur une base régulière, et vous finissez avec de l’argent dans votre compte.
Dans cette section, nous allons apprendre une variante appelée une rente à déboursement. Avec une rente à constitution immédiate, vous commencez avec de l’argent sur le compte et vous retirez régulièrement de l’argent du compte. L’argent restant sur le compte produit des intérêts. Après une durée déterminée, le compte finira par être vide.
Les rentes à constitution immédiate sont généralement utilisées après la retraite. Vous avez peut-être économisé 500 000 $ pour votre retraite et vous voulez retirer de l’argent du compte chaque mois pour vivre. Vous voulez que l’argent vous dure 20 ans. Il s’agit d’une rente à constitution immédiate. La formule est dérivée d’une manière similaire à celle que nous avons utilisée pour les rentes d’épargne. Les détails sont omis ici.
Formule de la rente à constitution immédiate
P_{0}=\frac{d\left(1-\left(1+\frac{r}{k}\right)^{-Nk}\right)}{\left(\frac{r}{k}\right)}
P0 est le solde du compte au début (montant de départ, ou principal).
d est le retrait régulier (le montant que vous retirez chaque année, chaque mois, etc.)
r est le taux d’intérêt annuel (sous forme décimale. Exemple : 5% = 0,05)
k est le nombre de périodes de composition dans une année.
N est le nombre d’années pendant lesquelles on prévoit de faire des retraits
Comme pour les rentes, la fréquence de composition n’est pas toujours explicitement donnée, mais elle est déterminée par la fréquence des retraits.
Quand utilisez-vous cela
Les rentes à versements supposent que vous retiriez de l’argent du compte selon un calendrier régulier (chaque mois, année, trimestre, etc.) et que vous laissiez le reste dormir en produisant des intérêts.
Les intérêts composés : Un seul dépôt
Annuité : De nombreux dépôts.
Rente à versements : De nombreux retraits
Exemple 9
Après avoir pris votre retraite, vous voulez pouvoir retirer 1000 $ chaque mois pendant un total de 20 ans de votre compte de retraite. Le compte rapporte un intérêt de 6 %. Combien vous faudra-t-il sur votre compte au moment de votre retraite ?
Dans cet exemple,
d = 1000 $ le retrait mensuel
r = 0.06 Taux annuel de 6%
k = 12 puisque nous faisons des retraits mensuels, nous composons mensuellement
N = 20 puisque nous prenons des retraits pendant 20 ans
Nous cherchons P0 ; combien d’argent doit être dans le compte au début.
En mettant cela dans l’équation:
\begin{align}&{{P}_{0}}=\frac{1000\left(1-{{\left(1+\frac{0.06}{12}\right)}^{-20(12)}}\right)}{\left(\frac{0.06}{12}\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-{{\left(1.005\right)}^{-240}}\right)}{\left(0.005\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-0.302\right)}{\left(0.005\right)}=\$139,600 \\\\end{align}
Vous aurez besoin d’avoir $139,600 sur votre compte lorsque vous prendrez votre retraite.
Notez que vous avez retiré un total de $240,000 ($1000 par mois pendant 240 mois). La différence entre ce que vous avez retiré et ce que vous avez commencé est l’intérêt gagné. Dans ce cas, c’est 240 000 $ – 139 600 $ = 100 400 $ d’intérêts.
Évaluer les exposants négatifs sur votre calculatrice
Avec ces problèmes, vous devez élever les nombres à des puissances négatives. La plupart des calculatrices ont un bouton séparé pour la négation d’un nombre qui est différent du bouton de soustraction. Certaines calculatrices l’étiquettent (-) , d’autres avec +/- . Le bouton est souvent près de la touche = ou du point décimal.
Si votre calculatrice affiche les opérations sur elle (typiquement une calculatrice avec affichage multiligne), pour calculer 1,005-240, vous taperez quelque chose comme : 1.005 ^ (-) 240
Si votre calculatrice n’affiche qu’une valeur à la fois, alors généralement vous appuyez sur la touche (-) après un nombre pour le nier, donc vous taperez : 1,005 yx 240 (-) =
Faites un essai – vous devriez obtenir 1,005-240 = 0,302096
Exemple 10
Vous savez que vous aurez 500 000 $ sur votre compte à la retraite. Vous voulez pouvoir effectuer des retraits mensuels du compte pendant un total de 30 ans. Votre compte de retraite rapporte un intérêt de 8 %. Combien pourrez-vous retirer chaque mois ?
Dans cet exemple,
Nous cherchons d.
r = 0.08 Taux annuel de 8%
k = 12 puisque nous retirons mensuellement
N = 30 30 ans
P0 = 500 000 $ nous commençons avec 500 000 $
Dans ce cas, nous allons devoir poser l’équation, et résoudre d.
\begin{align}&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1+\frac{0.08}{12}\right)}^{-30(12)}}\right)}{\left(\frac{0.08}{12}\right)}\\&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1.00667\right)}^{-360}}\right)}{\left(0.00667\right)}\\&500,000=d(136.232)\\&d=\frac{500,000}{136.232}=\$3670.21 \\\\N- fin{align}
Vous seriez en mesure de retirer 3 670,21 $ chaque mois pendant 30 ans.
Essayez maintenant 3
Un donateur donne 100 000 $ à une université, et précise qu’il doit être utilisé pour accorder des bourses d’études annuelles pendant les 20 prochaines années. Si l’université peut gagner 4% d’intérêt, combien peut-elle donner en bourses d’études chaque année ?
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