Polynômes : Définitions et évaluation

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• Terminologie
• Donnez le degré du polynôme, et donnez les valeurs du coefficient principal et du terme constant, s’il y en a, du polynôme suivant : 2×5 – 5×3 – 10x + 9
• Déterminez le degré du polynôme, et énumérez les valeurs du coefficient directeur et du terme constant, s’il y en a un, du polynôme suivant : 6×2 + 7×4 + x
• Noms des polynômes
• Evaluation
• Evaluer 2×3 – x2 – 4x + 2 à x = -3
• Evaluer x5 + 4×4 – 9x + 7 à x = -2

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À présent, vous devriez être familier avec les variables et les exposants, et vous avez peut-être traité des expressions comme 3×4 ou 6x. Les polynômes sont des sommes de ces expressions « variables et exposants ». Chaque morceau du polynôme (c’est-à-dire chaque partie qui est ajoutée) est appelé un « terme ».

Qu’est-ce qu’un polynôme?

Les polynômes sont des sommes (et des différences) de « termes » polynomiaux.

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MathHelp.com

Pour qu’une expression soit un terme polynomial, toutes les variables de l’expression doivent avoir des puissances de nombres entiers (ou alors la puissance « comprise » de 1, comme dans x1, qui est normalement écrit comme x). Un simple nombre peut également être un terme polynomial. En particulier, pour qu’une expression soit un terme polynomial, elle ne doit contenir aucune racine carrée de variables, aucune puissance fractionnaire ou négative sur les variables, et aucune variable dans les dénominateurs d’éventuelles fractions. Voici quelques exemples:

Terminologie

Pour créer un polynôme, on prend certains termes et on les additionne (et les soustrait). Voici un polynôme typique :

Notez les exposants (c’est-à-dire les puissances) sur chacun des trois termes. Le premier terme a un exposant de 2 ; le deuxième terme a un exposant « compris » de 1 (qui n’est habituellement pas inclus) ; et le dernier terme n’a pas de variable du tout, donc les exposants ne sont pas un problème. Comme il n’y a pas de variable dans ce dernier terme, sa valeur ne change jamais, on l’appelle donc le terme « constant ».

(Note : Si l’on voulait être très technique, on pourrait dire que le terme constant inclut la variable, mais que la variable est sous la forme « x0 ». La variable ayant une puissance de zéro, elle s’évaluera toujours à 1, donc on l’ignore car elle ne change rien : 7×0 = 7(1) = 7.)

Notez aussi que les puissances sur les termes ont commencé par la plus grande, étant le 2, sur le premier terme, et ont décompté à partir de là. Un autre mot pour « puissance » ou « exposant » est « ordre ». Lorsque les termes sont écrits de manière à ce que les puissances sur les variables aillent de la plus grande à la plus petite, on dit qu’ils sont écrits « en ordre décroissant ». Les polynômes s’écrivent généralement dans l’ordre décroissant, le terme constant venant à la fin. (Note : Certains instructeurs compteront une réponse fausse si les termes du polynôme sont tout à fait corrects mais ne sont pas écrits dans l’ordre décroissant.)

Le premier terme du polynôme, lorsque ce polynôme est écrit dans l’ordre décroissant, est également le terme avec le plus grand exposant, et est appelé le terme « leader ».

Si la variable d’un terme est multipliée par un nombre, alors ce nombre est appelé le « coefficient » (koh-ee-FISH-int), ou « coefficient numérique », du terme. Le coefficient du terme de tête (soit le « 4 » dans l’exemple ci-dessus) est le « coefficient de tête ». S’il n’y a pas de nombre multiplié sur la partie variable d’un terme, alors (dans un sens technique) le coefficient de ce terme est 1.

L’exposant sur la partie variable d’un terme vous indique le « degré » de ce terme. Par exemple, la puissance sur la variable x dans le terme de tête du polynôme ci-dessus est 2. Cela signifie que le terme de tête est un terme de « second degré », ou « un terme de degré deux ». Le second terme est un terme de « premier degré », ou « un terme de degré un ».

Dans tout polynôme, le degré du terme de tête vous indique le degré du polynôme entier, donc le polynôme ci-dessus est un « polynôme de second degré », ou un « polynôme de degré deux ».

• Donnez le degré du polynôme, et donnez les valeurs du coefficient principal et du terme constant, s’il y en a, du polynôme suivant : 2×5 – 5×3 – 10x + 9

• Déterminez le degré du polynôme, et énumérez les valeurs du coefficient directeur et du terme constant, s’il y en a un, du polynôme suivant : 6×2 + 7×4 + x

Noms des polynômes

Cependant, les polynômes les plus courts ont leurs propres noms, en fonction de leur nombre de termes :

Je ne sais pas s’il existe des noms pour les polynômes dont le nombre de termes est plus élevé ; je n’ai jamais entendu parler d’autres noms que les trois que j’ai énumérés.

Les polynômes sont aussi parfois nommés en fonction de leur degré :

Il existe des noms pour certains des polynômes de degrés supérieurs, mais je n’ai jamais entendu parler de noms utilisés autres que ceux que j’ai énumérés ci-dessus.

A propos, oui, le préfixe « quad » fait généralement référence à « quatre », comme lorsqu’un quad est appelé « quad bike », ou qu’un drone avec quatre hélices est appelé « quad-copter ». Pour les polynômes, cependant, le « quad » de « quadratique » est dérivé du latin pour « faire un carré ». Ainsi, si vous multipliez une longueur par une largeur (d’une pièce, par exemple) pour trouver la surface, les unités de la surface seront élevées à la deuxième puissance. Par exemple, la superficie d’une pièce de 6 mètres sur 8 mètres est de 48 m2. Donc le « quad » pour les polynômes de degré deux fait référence aux quatre coins d’un carré, depuis les origines géométriques des paraboles et des premiers polynômes.

Evaluation

« Évaluer » un polynôme est la même chose qu’évaluer n’importe quoi d’autre ; c’est-à-dire que vous prenez la ou les valeurs qui vous ont été données, les branchez pour la ou les variables appropriées, et simplifiez pour trouver la valeur résultante.

• Evaluer 2×3 – x2 – 4x + 2 à x = -3

• Evaluer x5 + 4×4 – 9x + 7 à x = -2

En évaluant, n’oubliez jamais de faire attention aux signes « moins » !

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