Nell’ultima sezione avete imparato qualcosa sulle rendite. In una rendita, si inizia con niente, si mettono soldi in un conto su base regolare, e si finisce con soldi nel conto.
In questa sezione, impareremo una variazione chiamata rendita a pagamento. Con una rendita a pagamento, si inizia con denaro nel conto, e si tira fuori denaro dal conto su base regolare. Tutti i soldi rimanenti nel conto guadagnano interessi. Dopo un determinato periodo di tempo, il conto finirà vuoto.
Le rendite payout sono tipicamente usate dopo il pensionamento. Forse avete risparmiato 500.000 dollari per la pensione, e volete prendere i soldi dal conto ogni mese per vivere. Volete che i soldi vi durino 20 anni. Questa è una rendita a pagamento. La formula è derivata in un modo simile a quello che abbiamo fatto per le rendite da risparmio. I dettagli sono omessi qui.
Formula della rendita a pagamento
P_{0}=frac{d\left(1-\left(1+frac{r}{k}{right)^{-Nk}{right)}{\left(\frac{r}{k}{right)}
P0 è il saldo nel conto all’inizio (importo iniziale, o capitale).
d è il prelievo regolare (l’importo da prelevare ogni anno, ogni mese, ecc.)
r è il tasso di interesse annuale (in forma decimale. Esempio: 5% = 0,05)
k è il numero di periodi di capitalizzazione in un anno.
N è il numero di anni in cui prevediamo di fare dei prelievi
Come per le rendite, la frequenza di capitalizzazione non è sempre data esplicitamente, ma è determinata da quanto spesso si fanno i prelievi.
Quando si usa questo
Le rendite a pagamento presuppongono che si prenda denaro dal conto secondo un programma regolare (ogni mese, anno, trimestre, ecc.) e si lasci il resto lì a guadagnare interessi.
Interesse composto: Un deposito
Annuità: Molti depositi.
Payout Annuity: Molti prelievi
Esempio 9
Dopo il pensionamento, vuoi essere in grado di prendere $1000 ogni mese per un totale di 20 anni dal tuo conto pensione. Il conto guadagna il 6% di interesse. Di quanto avrai bisogno nel tuo conto quando andrai in pensione?
In questo esempio,
d = $1000 il prelievo mensile
r = 0.06 6% annuo
k = 12 dato che stiamo facendo dei prelievi mensili, faremo la capitalizzazione mensile
N = 20 dato che stiamo facendo dei prelievi per 20 anni
Stiamo cercando P0; quanti soldi devono essere nel conto all’inizio.
Mettendo questo nell’equazione:
{begin{align}&{P}_{0}}={frac{1000{sinistra(1-{{sinistra(1+frac{0.06}{12}\right)}^{-20(12)}}\right)}{\left(\frac{0.06}{12}\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-{{\left(1.005\right)}^{-240}}\right)}{\left(0.005\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-0.302\destra)}{sinistra(0.005\destra)}= $139.600 \fine{align}
Hai bisogno di avere $139.600 sul tuo conto quando vai in pensione.
Nota che hai prelevato un totale di $240.000 ($1000 al mese per 240 mesi). La differenza tra quello che hai prelevato e quello con cui hai iniziato è l’interesse guadagnato. In questo caso è $240.000 – $139.600 = $100.400 di interesse.
Valutazione degli esponenti negativi sulla tua calcolatrice
Con questi problemi, devi elevare i numeri a potenze negative. La maggior parte delle calcolatrici ha un pulsante separato per la negazione di un numero che è diverso da quello della sottrazione. Alcune calcolatrici lo etichettano con (-), altre con +/-. Il pulsante è spesso vicino al tasto = o al punto decimale.
Se la vostra calcolatrice visualizza le operazioni (tipicamente una calcolatrice con display multilinea), per calcolare 1,005-240 dovreste digitare qualcosa come: 1.005 ^ (-) 240
Se la tua calcolatrice mostra solo un valore alla volta, allora di solito si preme il tasto (-) dopo un numero per negarlo, quindi si preme: 1.005 yx 240 (-) =
Prova – dovresti ottenere 1.005-240 = 0.302096
Esempio 10
Sai che avrai 500.000 dollari sul tuo conto quando andrai in pensione. Volete essere in grado di prelevare mensilmente dal conto per un totale di 30 anni. Il suo conto pensione guadagna l’8% di interesse. Quanto potrai prelevare ogni mese?
In questo esempio,
siamo alla ricerca di d.
r = 0.08 8% tasso annuale
k = 12 dato che stiamo prelevando mensilmente
N = 30 30 anni
P0 = $500.000 stiamo iniziando con $500.000
In questo caso, dobbiamo impostare l’equazione, e risolvere per d.
\begin{align}&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1+\frac{0.08}{12}\right)}^{-30(12)}}\right)}{\left(\frac{0.08}{12}\right)}\\&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1.00667\right)}^{-360}}\right)}{\left(0.00667\right)}\\&500,000=d(136.232)\\&d=\frac{500,000}{136.232}=\$3670.21 \end{align}
Sarebbe in grado di prelevare $3.670,21 ogni mese per 30 anni.
Prova ora 3
Un donatore dà $100.000 a un’università, e specifica che deve essere usato per dare borse di studio annuali per i prossimi 20 anni. Se l’università può guadagnare il 4% di interesse, quanto può dare in borse di studio ogni anno?