Mängder behandlas som matematiska objekt. På samma sätt som med tal kan vi utföra vissa matematiska operationer på mängder. Nedan behandlar vi de viktigaste operationerna som involverar skärning, förening, skillnad, symmetrisk skillnad och komplement av mängder.
För att visualisera mängderoperationer kommer vi att använda oss av Venn-diagram. I ett Venn-diagram visar en rektangel den universella mängden, och alla andra mängder representeras vanligtvis av cirklar inom rektangeln. Det skuggade området representerar resultatet av operationen.
Intersektion av mängder
Två mängder kallas disjunkna om de inte har några element gemensamt.
Exempel:
Union av mängder
Exempel:
Princip för inklusion-exklusion
\
där \(\left| {A \cap B} \right|\) är kardinaliteten av skärningspunkten mellan \(A\) och \(B.\)
Den liknande formeln finns för föreningen av \(3\) ändliga mängder:
Differens mellan två mängder
Exempel:
Symmetrisk differens
Med avseende på unioner och skärningspunkter kan den symmetriska skillnaden mellan två mängder \(A\) och \(B\) uttryckas som
\
Exempel:
Komplement till en mängd
Så enligt definitionen har vi
\
Exempel:
Lösta problem
Klicka eller knacka på ett problem för att se lösningen.
Lösning.
Lösning.
Lösning.
Vi kan uttrycka mängden \(A\) på följande sätt:
\
Beräkna elementen i mängden \(A:\)
\
Samma sätt bestämmer vi elementen i mängden \(B:\)
\
Lösning.
Vi kan hitta mängden \(A\) på följande sätt:
\
Mängden \(B\) ges av
\
Exempel 5.
Låt \(A, B,\) och \(C\) vara mängder. Rita Venndiagrammet för mängdkombinationen \(A \cap \left( {B \backslash C} \right).\)
Lösning.
Regionen \(A \cap \left( {B\backslash C} \right)\) är färgad med orange.
Exempel 6.
Låt \(A, B,\) och \(C\) vara mängder. Rita Venndiagrammet för \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right).\)
Lösning.
Regionen \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right)\) är färgad med orange.
Lösning.
Det sista paret av franska och kinesiska ges av \(10 = x + \left( {10 – x} \right).\)
Rekommendera att det totala antalet elever som lär sig spanska är \(45.\) Med hjälp av Venn-diagrammet finner vi att den återstående delen av den gröna cirkeln \(S\) innehåller det antal elever som är lika med
\ }={ 25 + x.På samma sätt kan vi beräkna den återstående delen av den blå cirkeln \(F:\)
\ }={ 6 + x. }\]
För den lila cirkeln \(C\) har vi
\ }={ 4 + x.}]
Nu är alla partitioner uttryckta i termer av \(x,\) så vi kan skriva följande ekvation:
\
Som vi löser den för \(x,\) får vi fram antalet elever som lär sig alla \(3\) språk:
\
Lösningen.
Vi betecknar delmängderna av tal som är multipla av \(2,\) \(3,\) och \(5\) med \(A,\) \(B,\) respektive \(C,\).\) Genom villkor,
\
\
Samma har vi
\
Slutligt, om ett tal är en multipel av \(30,\) betyder det att det är delbart med \(2,\) \(3,\) och \(5.\) Här har vi skärningspunkten mellan tre delmängder:
\
Kardinalen för föreningen av tre mängder ges av formeln
Om vi ersätter de kända värdena får vi
\