Mengen werden als mathematische Objekte behandelt. Ähnlich wie bei Zahlen können wir bestimmte mathematische Operationen mit Mengen durchführen. Im Folgenden werden die wichtigsten Operationen betrachtet, die die Schnittmenge, die Vereinigung, die Differenz, die symmetrische Differenz und das Komplement von Mengen betreffen.
Um die Mengenoperationen zu veranschaulichen, werden wir Venn-Diagramme verwenden. In einem Venn-Diagramm zeigt ein Rechteck die Universalmenge, und alle anderen Mengen werden normalerweise durch Kreise innerhalb des Rechtecks dargestellt. Der schattierte Bereich stellt das Ergebnis der Operation dar.
Intersektion von Mengen
Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.
Beispiele:
Vereinigung von Mengen
Beispiele:
Prinzip der Inklusion-Exklusion
\
wobei \(\left| {A \cap B} \right|\) die Kardinalität der Schnittmenge von \(A\) und \(B.\)
Eine ähnliche Formel existiert für die Vereinigung von \(3\) endlichen Mengen:
Differenz zweier Mengen
Beispiele:
Symmetrische Differenz
Die symmetrische Differenz zweier Mengen \(A\) und \(B\) lässt sich im Sinne von Vereinigungen und Überschneidungen wie folgt ausdrücken
\
Beispiele:
Komplement einer Menge
So haben wir per Definition
\
Beispiele:
Gelöste Probleme
Klicke oder tippe auf ein Problem um die Lösung zu sehen.
Lösung.
Lösung.
Lösung.
Wir können die Menge \(A\) wie folgt ausdrücken:
\
Bestimmen Sie die Elemente der Menge \(A:\)
\
Analog bestimmen wir die Elemente der Menge \(B:\)
\
Lösung.
Wir können die Menge \(A\) wie folgt finden:
\
Die Menge \(B\) ist gegeben durch
\
Beispiel 5.
Lassen Sie \(A, B,\) und \(C\) Mengen sein. Zeichne das Venn-Diagramm für die Mengenkombination \(A \cap \left( {B \backslash C} \right).\)
Lösung.
Der Bereich \(A \cap \left( {B\backslash C} \right)\) ist orange gefärbt.
Beispiel 6.
Lassen Sie \(A, B,\) und \(C\) Mengen sein. Zeichne das Venn-Diagramm für \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right).\)
Lösung.
Der Bereich \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right)\) ist mit Orange gefärbt.
Lösung.
Das letzte Paar von Französisch und Chinesisch ist gegeben durch \(10 = x + \left( {10 – x} \right).\)
Erinnern Sie sich, dass die Gesamtzahl der Schüler, die Spanisch lernen, \(45.\) ist. Mit Hilfe des Venn-Diagramms finden wir heraus, dass der verbleibende Teil des grünen Kreises \(S\) die Anzahl der Schüler enthält, die gleich
\ }={ 25 + x.
Gleichermaßen können wir den verbleibenden Teil des blauen Kreises \(F:\)
\={ 6 + x.}\]
Für den lila Kreis \(C\) haben wir
\={ 4 + x.}]
Jetzt sind alle Partitionen in Begriffen von \(x,\) ausgedrückt, so dass wir die folgende Gleichung schreiben können:
\
Lösen wir sie für \(x,\), finden wir die Anzahl der Schüler, die alle \(3\) Sprachen lernen:
\
\
Lösung.
Wir bezeichnen die Teilmengen von Zahlen, die ein Vielfaches von \(2,\) \(3,\) und \(5\) sind, jeweils mit \(A,\) \(B,\) und \(C.\) Durch die Bedingung,
\
\
Analog haben wir
\
Schließlich, wenn eine Zahl ein Vielfaches von \(30,\) ist, bedeutet dies, dass sie durch \(2,\) \(3,\) und \(5.\) Hier haben wir die Schnittmenge dreier Teilmengen:
\
Die Kardinalität der Vereinigung dreier Mengen ist durch die Formel
gegeben.Durch Einsetzen der bekannten Werte erhalten wir
\