Gli insiemi sono trattati come oggetti matematici. Analogamente ai numeri, possiamo eseguire alcune operazioni matematiche sugli insiemi. Di seguito consideriamo le principali operazioni che coinvolgono l’intersezione, l’unione, la differenza, la differenza simmetrica e il complemento degli insiemi.
Per visualizzare le operazioni sugli insiemi, useremo i diagrammi di Venn. In un diagramma di Venn, un rettangolo mostra l’insieme universale, e tutti gli altri insiemi sono solitamente rappresentati da cerchi all’interno del rettangolo. La regione ombreggiata rappresenta il risultato dell’operazione.
Intersezione di insiemi
Due insiemi si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune.
Esempi:
Unione di insiemi
Esempi:
Principio di inclusione-esclusione
\
dove \(\left| {A \cap B} \right||) è la cardinalità dell’intersezione di \(A\) e \(B.
La formula simile esiste per l’unione di \(3\) insiemi finiti:
Differenza di due insiemi
Esempi:
Differenza simmetrica
In termini di unioni e intersezioni, la differenza simmetrica di due insiemi \(A) e \(B) può essere espressa come
Esempi:
Complemento di un insieme
Quindi, per definizione, abbiamo
\5690>
Esempi:
Problemi risolti
Clicca o tocca un problema per vedere la soluzione.
Soluzione.
Soluzione.
Soluzione.
Possiamo esprimere l’insieme \(A\) come segue:
Computiamo gli elementi dell’insieme \(A:\)
Similmente, determiniamo gli elementi dell’insieme \(B:\)
Soluzione.
Possiamo trovare l’insieme \(A\) come segue:
L’insieme \(B\) è dato da
Esempio 5.
Sia \(A, B,\) e \(C\) un insieme. Disegna il diagramma di Venn per la combinazione di insiemi \(A \cap \sinistra( {B \backslash C} \destra).\)
Soluzione.
La regione \(A \cap \left( {B\backslash C} \right)\ è colorata di arancione.
Esempio 6.
Lascia che \(A, B,\) e \(C\) siano insiemi. Disegnare il diagramma di Venn per \(\sinistra( {A \capoverso {B^c}.\destra) \cup \sinistra( {A \capoverso {C^c}.\destra)
Soluzione.
La regione \(\sinistra( {A \cap {B^c}.\destra) \cup \sinistra( {A \cap {C^c}.\destra)\ è colorata di arancione.
Soluzione.
L’ultima coppia di francese e cinese è data da \(10 = x + \left( {10 – x} \right).\)
Ricordiamo che il numero totale di studenti che imparano lo spagnolo è \(45.\) Usando il diagramma di Venn, troviamo che la parte rimanente del cerchio verde \(S\) contiene il numero di studenti uguale a
}={ 25 + x.
Similmente, possiamo calcolare la parte rimanente del cerchio blu \(F:\)
={ 6 + x.}]
Per il cerchio viola \(C\) abbiamo
={ 4 + x.
Ora tutte le partizioni sono espresse in termini di \(x,\) così possiamo scrivere la seguente equazione:
Solvendo per \(x,\) troviamo il numero di studenti che imparano tutte le lingue \(3\):
Soluzione.
Denominiamo i sottoinsiemi di numeri multipli di \(2,\) \(3,\) e \(5\), rispettivamente con \(A,\) \(B,\) e \(C.\Per condizione,
Similmente, abbiamo
Infine, se un numero è multiplo di \(30,\) significa che è divisibile per \(2,\) \(3,\) e \(5..\) Qui abbiamo l’intersezione di tre sottoinsiemi:
La cardinalità dell’unione di tre insiemi è data dalla formula
Sostituendo i valori noti, si ottiene