Seturile sunt tratate ca obiecte matematice. În mod similar cu numerele, putem efectua anumite operații matematice asupra seturilor. Mai jos vom considera principalele operații care implică intersecția, uniunea, diferența, diferența simetrică și complementul seturilor.
Pentru a vizualiza operațiile cu seturi, vom folosi diagramele Venn. Într-o diagramă Venn, un dreptunghi arată setul universal, iar toate celelalte seturi sunt de obicei reprezentate prin cercuri în interiorul dreptunghiului. Regiunea umbrită reprezintă rezultatul operației.
Intersecție de seturi
Două seturi se numesc disjuncte dacă nu au elemente comune.
Exemple:
Unire de seturi
Exemple:
Principiul includerii-excluderii
\
unde \(\left| {A \cap B} \right|\) este cardinalitatea intersecției dintre \(A\) și \(B.\)
Există o formulă similară pentru uniunea ansamblurilor finite \(3\):
Diferența a două ansambluri
Exemple:
Diferența simetrică
Exemple:
Diferența simetrică
În termeni de uniuni și intersecții, diferența simetrică a două seturi \(A\) și \(B\) poate fi exprimată sub forma
\
Exemple:
Complementul unui set
Atunci, prin definiție, avem
\
Exemple:
Probleme rezolvate
Click sau atingeți o problemă pentru a vedea soluția.
Soluție.
Soluție.
Soluție.
Potem exprima ansamblul \(A\) în felul următor:
Determinăm elementele ansamblului \(A:\)
\
În mod similar, determinăm elementele ansamblului \(B:\)
\
Soluție.
Potem găsi ansamblul \(A\) după cum urmează:
Asamblul \(B\) este dat de
\
Exemplu 5.
Să fie \(A, B,\) și \(C\) ansambluri. Desenați diagrama Venn pentru combinația de seturi \(A \cap \left( {B \backslash C} \right).\)
Soluție.
Regiunea \(A \cap \left( {B\backslash C} \right)\) este colorată cu portocaliu.
Exemplul 6.
Să fie \(A, B,\) și \(C\) seturi. Desenați diagrama Venn pentru \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right).\)
Soluție.
Regiunea \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right)\) este colorată cu portocaliu.
Soluție.
Ultima pereche de franceză și chineză este dată de \(10 = x + \left( {10 – x} \right).\)
Reamintim că numărul total de elevi care învață spaniola este \(45.\) Folosind diagrama Venn, aflăm că porțiunea rămasă din cercul verde \(S\) conține numărul de elevi egal cu
\ }={ 25 + x.}\]
În mod similar, putem calcula porțiunea rămasă din cercul albastru \(F:\)
\ }={ 6 + x.}\]
Pentru cercul violet \(C\) avem
\ }={ 4 + x.}\]
Acum toate partițiile sunt exprimate în termeni de \(x,\) astfel încât putem scrie următoarea ecuație:
\
Soluționând-o pentru \(x,\) găsim numărul de elevi care învață toate limbile \(3\):
\
\
\
Soluție.
Denumim subansamblurile de numere multiple de \(2,\) \(3,\) și \(5\), respectiv prin \(A,\) \(B,\) și \(C.\) Prin condiție,
\
\
În mod similar, avem
\
În cele din urmă, dacă un număr este multiplu de \(30,\) înseamnă că este divizibil prin \(2,\) \(3,\) și \(5.\) Aici avem intersecția a trei subseturi:
\
Cardinalitatea uniunii a trei seturi este dată de formula
Înlocuind valorile cunoscute, obținem
\
.