joukkoja käsitellään matemaattisina objekteina. Vastaavasti kuin luvuilla, voimme suorittaa joukoille tiettyjä matemaattisia operaatioita. Seuraavassa tarkastelemme tärkeimpiä operaatioita, jotka koskevat joukkojen leikkausta, yhdistämistä, erotusta, symmetristä erotusta ja komplementtia.
joukkojen operaatioiden havainnollistamiseksi käytämme Venn-diagrammeja. Venn-diagrammissa suorakulmio kuvaa universaalia joukkoa, ja kaikki muut joukot esitetään yleensä ympyröillä suorakulmion sisällä. Tummennettu alue edustaa operaation tulosta.
joukkojen leikkaus
Kahta joukkoa sanotaan epäyhtenäiseksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä elementtiä.
Esimerkkejä:
joukkojen unioni
Esimerkkejä:
Sisällyttämisen ja poissulkemisen periaate
\
joissa \(\left| {A \cap B} \right|\) on \(A\):n ja \(B):n leikkauspisteiden \(A\) ja \(B):n kardinaalisuus.\)
Samankaltainen kaava on olemassa \(3\) äärellisten joukkojen unionille:
Kahden joukon erotus
Esimerkkejä:
Symmetrinen ero
Kahden joukon \(A\) ja \(B\) symmetrinen erotus voidaan unionien ja leikkausten avulla ilmaista
\
Esimerkkejä:
joukon komplementti
Määritelmän mukaan meillä on siis
\
Esimerkkejä:
Ratkaistuja ongelmia
Klikkaamalla tai napauttamalla ongelmaa näet ratkaisun.
Ratkaisu.
Ratkaisu.
Ratkaisu.
Voidaan ilmaista joukko \(A\) seuraavasti:
\
Lasketaan joukon \(A:\)
\
Määritellään vastaavasti joukon \(B:\)
\
Ratkaisu.
Voidaan löytää joukko \(A\) seuraavasti:
\
joukko \(B\) saadaan
\
Esimerkki 5.
Olkoot \(A, B,\) ja \(C\) joukkoja. Piirrä Venn-diagrammi joukkoyhdistelmälle \(A \cap \left( {B \backslash C} \right).\)
Ratkaisu.
Alue \(A \cap \left( {B\backslash C} \right)\) on värjätty oranssilla.
Esimerkki 6.
Olkoot \(A, B,\) ja \(C\) joukko. Piirrä Venn-diagrammi \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right).\)
Ratkaisu.
Alue \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right)\) on väritetty oranssilla.
Ratkaisu.
Viimeinen ranskan- ja kiinankielinen pari saadaan \(10 = x + \left( {10 – x} \right).\)
Muistetaan, että espanjaa opiskelevien opiskelijoiden kokonaismäärä on \(45.\) Venn-kaavion avulla havaitaan, että vihreän ympyrän jäljelle jäävä osa \(S\) sisältää opiskelijoiden määrän, joka on yhtä suuri kuin
\ }={ 25 + x.}\]
Vastaavasti voimme laskea sinisen ympyrän \(F:\)
\ }={ 6 + x.}\]
Violetin ympyrän \(C\) jäljellä oleva osuus on
\ }={ 4 + x.}\]
Nyt kaikki osiot ilmaistaan \(x,\) suhteen, joten voimme kirjoittaa seuraavan yhtälön:
\
Ratkaisemalla se \(x,\) suhteen löydämme kaikkien \(3\) kieliä oppivien opiskelijoiden lukumäärän:
\
\
Ratkaisu.
Kirjoitamme numeroiden \(2,\) \(3,\) ja \(5\) moninkertaiset osajoukot vastaavasti \(A,\) \(B,\) ja \(C.\) Ehdon mukaan,
\
\
Vastaavasti meillä on
\
Loppujen lopuksi, jos luku on \(30,\) moninkertainen, tämä tarkoittaa, että se on jaollinen \(2,\) \(3,\) \(3,\) ja \(5.\) Tässä meillä on kolmen osajoukon leikkauspiste:
\
Kolmen joukon liiton kardinaalisuus saadaan kaavalla
Korvaamalla tunnetut arvot saadaan
\
.