Sets worden behandeld als wiskundige objecten. Net als met getallen kunnen we bepaalde wiskundige bewerkingen op verzamelingen uitvoeren. Hieronder worden de belangrijkste bewerkingen besproken, namelijk intersectie, unie, verschil, symmetrisch verschil en complement van verzamelingen.
Om de bewerkingen van verzamelingen te visualiseren, zullen we Venn-diagrammen gebruiken. In een Venn-diagram stelt een rechthoek de universele verzameling voor, en alle andere verzamelingen worden gewoonlijk voorgesteld door cirkels binnen de rechthoek. Het gearceerde gebied stelt het resultaat van de bewerking voor.
Samenvoeging van verzamelingen
Twee verzamelingen worden disjunct genoemd als ze geen elementen gemeen hebben.
Voorbeelden:
Samenvoeging van verzamelingen
Samenvoeging van verzamelingen
Voorbeelden:
Principe van insluiting/uitsluiting
waarbij (links| {A ≤ B} \rechts|) de kardinaliteit is van de doorsnede van \(A) en \(B.
Dezelfde formule bestaat voor de vereniging van (3) eindige verzamelingen:
Verschil van twee verzamelingen
Voorbeelden:
Symmetrisch verschil
Verschil van twee verzamelingen
Verschil van twee verzamelingen
In termen van unies en intersecties kan het symmetrisch verschil van twee verzamelingen \(A) en \(B) worden uitgedrukt als
Voorbeelden:
Complement van een verzameling
Dus per definitie hebben we
Voorbeelden:
Oplossingen
Klik of tik op een probleem om de oplossing te zien.
Oplossing.
Oplossing.
Oplossing.
We kunnen de verzameling \(A:\) als volgt uitdrukken:
Bepaal de elementen van de verzameling \(A:\)
Op dezelfde manier bepalen we de elementen van de verzameling \(B:\)
Oplossing.
We vinden de verzameling \(A:\) als volgt:
De verzameling \(B:\) wordt gegeven door
Voorbeeld 5.
Laat \(A,B,\) en \(C:\) verzamelingen zijn. Teken het Venn-diagram voor de verzamelingencombinatie (A, B, links( {B, C}, rechts).\)
Oplossing.
De regio \(A, B, links( {Bijlstreep C}, rechts)\) is met oranje gekleurd.
Voorbeeld 6.
Laat \(A, B,\) en \(C,\) verzamelingen zijn. Teken het Venn-diagram voor \links( {A ^cap {B^c}} \rechts) \links( {A ^cap {C^c}} \rechts).\)
Oplossing.
Het gebied links( {A ^cap {B^c}} ^right) \left( {A ^cap {C^c}} \right)\) is met oranje gekleurd.
Oplossing.
Het laatste paar van Frans en Chinees wordt gegeven door \(10 = x + \left( {10 – x} \right).
Bedenk dat het totale aantal leerlingen dat Spaans leert 45 is. Met behulp van het Venn-diagram vinden we dat het overgebleven deel van de groene cirkel het aantal leerlingen bevat dat gelijk is aan 25 + x.Op dezelfde manier kunnen we het overblijvende deel van de blauwe cirkel berekenen:
={ 6 + x.}]
Voor de paarse cirkel:
={ 4 + x.
Nu zijn alle partities uitgedrukt in termen van \(x,\), zodat we de volgende vergelijking kunnen schrijven:
\
Oplossen voor \(x,\) vinden we het aantal leerlingen dat alle \(3)-talen leert:
Oplossing.
We noemen de deelverzamelingen van getallen veelvouden van respectievelijk A, B en C.\Voorwaarde is dat
Op dezelfde manier hebben we
Ten slotte, als een getal een veelvoud is van
De kardinaliteit van de unie van drie verzamelingen wordt gegeven door de formule
Door substitutie van de bekende waarden, krijgen we