In het laatste deel leerde je over annuities. Bij een annuïteit begin je met niets, zet je regelmatig geld op een rekening, en eindig je met geld op je rekening.
In dit deel leren we over een variant die uitkeringsannuïteit heet. Met een uitbetaling lijfrente, je begint met geld op de rekening, en geld uit de rekening op een regelmatige basis. Het resterende geld op de rekening brengt rente op. Na een bepaalde tijd is de rekening leeg.
Payout annuities worden meestal gebruikt na pensionering. Misschien heeft u $500.000 gespaard voor uw pensioen, en wilt u elke maand geld van de rekening halen om van te leven. U wilt dat het geld 20 jaar meegaat. Dit is een uitbetalingsannuïteit. De formule wordt op dezelfde manier afgeleid als we voor spaarannuïteiten hebben gedaan. De details zijn hier weggelaten.
Uitkeringslijfrente formule
P_{0}=\frac{d-links(1+-lijfrente(1+-lijfrente(1+-lijfrente(1+-lijfrente(1+-lijfrente(1+-lijfrente)^{-Nk})}{-links(1+-lijfrente(1+-lijfrente)}
P0 is het saldo op de rekening aan het begin (beginbedrag, of principal).
d is de regelmatige opname (het bedrag dat u elk jaar, elke maand, enz. opneemt)
r is de jaarlijkse rentevoet (in decimale vorm. Voorbeeld: 5% = 0,05)
k is het aantal samengestelde perioden in een jaar.
N is het aantal jaren dat men van plan is geld op te nemen
Zoals bij lijfrentes is de samenstellingsfrequentie niet altijd expliciet gegeven, maar wordt deze bepaald door hoe vaak men geld opneemt.
Wanneer gebruikt u dit
Payout annuities veronderstellen dat u geld van de rekening neemt op een regelmatig schema (elke maand, jaar, kwartaal, enz.) en de rest daar laat zitten om rente te verdienen.
Compound interest: Eén storting
Annuïteit: Veel stortingen.
Payout Annuity: Veel opnames
Voorbeeld 9
Na uw pensionering wilt u in totaal 20 jaar lang elke maand $1000 van uw pensioenrekening kunnen opnemen. De rekening brengt 6% rente op. Hoeveel moet er op uw rekening staan als u met pensioen gaat?
In dit voorbeeld,
d = $1000 de maandelijkse opname
r = 0.06 6% jaarlijkse rente
k = 12 omdat we maandelijks geld opnemen, zullen we maandelijks samenstellen
N = 20 omdat we 20 jaar lang geld opnemen
We zijn op zoek naar P0; hoeveel geld moet er in het begin op de rekening staan.
Hieruit volgt de vergelijking:
begin{align}&{P}_{0}}=1000(1-){(1+)P0.06}{12}\right)}^{-20(12)}}\right)}{\left(\frac{0.06}{12}\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-{{\left(1.005\right)}^{-240}}\right)}{\left(0.005\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-0.302 keer(1-0.005)}=139.600 dollar
U moet 139.600 dollar op uw rekening hebben als u met pensioen gaat.
Merk op dat u in totaal 240.000 dollar heeft opgenomen (1.000 dollar per maand gedurende 240 maanden). Het verschil tussen wat u hebt opgenomen en waarmee u bent begonnen, is de verdiende rente. In dit geval is dat $240.000 – $139.600 = $100.400 aan rente.
Evalueren van negatieve exponenten op uw rekenmachine
Bij deze problemen moet u getallen tot negatieve machten verheffen. De meeste rekenmachines hebben een aparte knop voor het negeren van een getal, die anders is dan de aftrektoets. Sommige rekenmachines labelen dit met (-) , andere met +/- . De knop bevindt zich vaak in de buurt van de = toets of de decimale punt.
Als uw rekenmachine bewerkingen op het display weergeeft (typisch een rekenmachine met multiline display), zou u om 1,005-240 te berekenen iets typen als: 1.005 ^ (-) 240
Als uw rekenmachine slechts één waarde tegelijk weergeeft, dan drukt u gewoonlijk op de (-)-toets na een getal om het te ontkennen, dus u zou typen: 1,005 yx 240 (-) =
Probeer het eens – u zou 1,005-240 = 0,302096
Voorbeeld 10
U weet dat u $500.000 op uw rekening zult hebben wanneer u met pensioen gaat. U wilt in totaal 30 jaar lang maandelijks geld van de rekening kunnen opnemen. Uw pensioenrekening levert 8% rente op. Hoeveel kunt u maandelijks opnemen?
In dit voorbeeld
We zoeken naar d.
r = 0.08 8% jaarlijkse rente
k = 12 omdat we maandelijks opnemen
N = 30 30 jaar
P0 = $500.000 we beginnen met $500.000
In dit geval moeten we de vergelijking opstellen, en voor d oplossen.
\begin{align}&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1+\frac{0.08}{12}\right)}^{-30(12)}}\right)}{\left(\frac{0.08}{12}\right)}\\&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1.00667\right)}^{-360}}\right)}{\left(0.00667\right)}\\&500,000=d(136.232)\\&d=\frac{500,000}{136.232}=\$3670.21 \eind{align}
U zou 30 jaar lang elke maand $3.670,21 kunnen opnemen.
Probeer het Nu 3
Een schenker schenkt $100.000 aan een universiteit, en geeft aan dat het gebruikt moet worden om jaarlijks studiebeurzen te geven gedurende de komende 20 jaar. Als de universiteit 4% rente kan verdienen, hoeveel kan zij dan elk jaar aan studiebeurzen geven?